如何寻找最大梅森素数
魅力无穷的梅森素数
魅力无穷的梅森素数——香港科技大学方程2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大Z的梅森素数。
该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。
世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。
梅森素数大搜索
梅森素数大搜索
佚名
【期刊名称】《大众科学》
【年(卷),期】2013(000)001
【摘要】梅森素数是数论研究中的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。
目前,世界上有180多个国家和地区近27万人,参加一个名为"互联网梅森素数大搜索"(GIMPS)的国际合作项目,并动用超过70万台计算机联网来寻找梅森素数
【总页数】1页(P31-31)
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
【相关文献】
1.十万美元的悬赏——互联网梅森素数大搜索 [J], 异调
2.迄今最大的素数被发现——浅谈对梅森素数的探询 [J], 杨国焱
3.新型大素数快速并行搜索策略 [J], 陈晓文;郑建德
4.梅森与梅森素数 [J], 赵春祥
5.寻找最大素数的猜想——由梅森素数启发而来的新发现 [J], 许轶
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梅森素数分布规律
梅森素数分布规律梅森素数，是一种具有特殊形式的素数，即形如2^p-1的素数，其中p也是素数。
梅森素数由法国数学家梅森在17世纪提出，并被广泛研究和探讨。
梅森素数的分布规律一直是数学界一个备受瞩目的问题，其独特性和神秘性吸引着无数数学爱好者和专家学者。
梅森素数的分布规律并不像常规素数那样简单，其数量相对稀少，且并不是所有形如2^p-1的数都是素数。
梅森素数的规律性主要表现在其指数p的取值范围上。
据统计，截至目前已知的梅森素数只有少数几个，其中p的取值范围一般在几十到几百之间。
这种特殊的分布规律使得梅森素数成为数学研究中的一大难题。
梅森素数的分布规律受到了众多数学家的关注和研究。
他们通过不断地寻找新的梅森素数，探索梅森素数的性质和规律，试图揭示其中的奥秘。
然而，梅森素数的分布规律迄今仍未完全被揭示清楚，仍然存在许多未解之谜等待着数学家去解开。
在研究梅森素数分布规律的过程中，数学家们发现了一些有趣的现象。
例如，梅森素数的指数p通常是一个较大的素数，且p越大，对应的梅森素数也越大。
这种规律性表明了梅森素数的增长速度较慢，且数量有限。
另外，梅森素数的分布规律还与费马小定理、欧拉定理等数论定理有着密切的联系，这为揭示梅森素数的分布规律提供了重要的理论支持。
总的来说，梅森素数的分布规律是一个具有挑战性和深远意义的数学问题。
数学家们将继续努力，探索梅森素数背后的规律，深入研究其中的数学奥秘，为数学领域的发展做出更大的贡献。
梅森素数分布规律的研究不仅对数学理论具有重要意义，也有助于推动数学的应用和发展，为人类认识世界、改善生活提供更多的可能性。
愿梅森素数分布规律的研究能够不断取得新的突破，为数学事业注入新的活力和动力。
梅森素数--美丽的贝壳
梅森素数--美丽的贝壳⼀、价值五万美元的素数2000年4⽉6⽇，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特⽡拉(Nayan Hajratwala)先⽣得到了⼀笔五万美元的数学奖⾦，因为他找到了迄今为⽌已知的最⼤素数，这是⼀个梅森素数：2^6972593-1。
这也是我们知道的第⼀个位数超过⼀百万位的素数。
精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的⼗进制形式的话，它共有两百零九万⼋千九百六⼗位数字，如果把它以这个形式写下来，⼤约需要150到200篇本⽂的篇幅。
可是哈吉拉特⽡拉先⽣并不是⼀个数学家，他甚⾄很可能对寻找素数的数学理论⼀⽆所知——虽然这使他赢得了这笔奖⾦。
他所做的⼀切，就是从互联⽹上下载了⼀个程序。
这个程序在他不使⽤他的奔腾II350型计算机时悄悄地运⾏。
在经过111天的计算后，上⾯所说的这个素数被发现了。
⼆、梅森素数我们把⼀个⼤于1的⾃然数叫作素数，如果只有1和它本⾝可以整除它。
如果⼀个⽐1⼤的⾃然数不是素数，我们就叫它合数。
1既不是素数，也不是合数。
⽐如说，你很容易就可以验证7是⼀个素数；⽽15是⼀个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。
根据定义，2是⼀个素数，它是唯⼀的偶素数。
早在公元前三百年的古希腊时代，伟⼤的数学家欧⼏⾥德就证明了存在着⽆穷多个素数。
关于素数，有许多既简单⼜美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。
其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何⼀个⼤于6的偶数，都能表⽰为两个奇素数之和。
还有孪⽣素数问题。
象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪⽣素数。
孪⽣素数问题是说：是不是有⽆穷多对孪⽣素数？这⾥要顺便提⼀下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决⽅法将⼀定是极其复杂的，需要最先进的数学⼯具。
如果你不是狂妄到认为⼏百甚⾄⼏千年来所有在这些问题上耗费了⽆数聪明才智的数学家（有许多是⾮常伟⼤的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图⽤初等⽅法去解决这些问题，徒费时间和精⼒。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
c语言梅森素数
c语言梅森素数C语言是一门跨平台的编程语言，非常受欢迎和广泛使用。
在C 语言中，有许多有趣的数学问题和算法，例如梅森素数。
本文将为您介绍C语言梅森素数的知识和实现方法。
什么是梅森素数？梅森素数是一种特殊的素数，可以表示为 2^p - 1 的形式，其中p也是一个素数。
也就是说，梅森素数只有在它本身是素数的情况下才存在。
梅森素数的名称来自法国数学家梅森（Marin Mersenne），他在1637年将它们带入了公众的视野。
目前发现的最大的梅森素数是2^6972593 - 1，它有2098960位。
因为它们强大的计算能力而成为了密码学的重要组成部分。
如何判断梅森素数？判断一个大数是否为素数是一个复杂的问题。
普通的算法需要检查所有可能的因子，这需要大量的计算资源和时间。
然而，根据梅森定理（Mersenne Nth power）的特殊性质，可以更高效地判断梅森素数。
梅森定理指出，如果P是素数，则如果(2^p)-1是素数，那么(2^p)-1也是梅森素数。
因此，要检查一个数是否为梅森素数，只需要检查(2^p)-1是否为素数即可。
实现方法C语言可以用标准库中的函数来实现。
下面是一个简单的示例代码，用于检查一个大数是否为梅森素数。
```#include <stdio.h>#include <math.h>int is_prime(int number){int i;for (i = 2; i <= sqrt(number); i++){if (number % i == 0){return 0;}}return 1;}int main(){int p = 3;while (p <= 20){int mersenne = pow(2, p) - 1;if (is_prime(mersenne)){printf("2^%d-1=%d is a Mersenne prime.\n", p, mersenne);}else{printf("2^%d-1=%d is not a Mersenne prime.\n", p, mersenne);}p++;}return 0;}```上述代码中，我们先定义了一个函数is_prime，用于判断一个数是否为素数。
【ZZ】梅森素数列表
【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。
第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。
第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。
第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。
1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。
第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。
第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。
第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。
第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。
第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。
梅森素数及其生成方法
梅森素数及其生成方法
梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是一个素数。
梅森素数因为其特殊形式和特殊性质而备受数学爱好者的关注。
本文将介绍梅森素数的生成方法以及重要性。
一、生成梅森素数的方法
梅森素数的生成方法最早可以追溯到17世纪，当时法国数学家梅森（Marin Mersenne）提出了一个形如2^p-1的素数可能是梅森素数的猜想。
梅森素数的生成方法为首先选取一个质数p，然后计算2^p-1是否为素数，若是，则2^p-1就是梅森素数。
目前已知的梅森素数十分有限，截止到2021年4月，已知的梅森素数仅有51个。
其中最大的一个是2^82,589,933-1，它包含24,862,048个数字。
二、梅森素数的重要性
梅森素数因为其特殊性质而在密码学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
首先，梅森素数的质数性质使得它们在密码学的应用中发挥了重要作用。
RSA加密算法，通常用于安全通信和数字签名，就是基于梅森素数的质数性质来实现的。
其次，在计算机科学领域，梅森素数被广泛用于构造一些高效的算法和数据结构，例如哈希表、布隆过滤器等。
另外，在数论中，梅森素数也因其稀少、特殊的形式而成为数学家研究的对象，对研究数学基本问题和不等式等方面有非常重要的作用。
三、结语
梅森素数虽然数量稀少，但因其特殊的形式和性质而成为数学研究和应用领域的重要对象。
我们希望通过本文的介绍，能够让更多的人认识梅森素数，并了解它们的重要性和应用。
梅森素数的分布规律
梅森素数的分布规律梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是素数。
梅森素数的分布规律一直是数学家们研究的热点之一。
在这篇文章中，我们将探讨梅森素数的分布规律以及其背后的数学原理。
我们需要了解梅森素数的特点。
梅森素数的形式非常特殊，只有当p是素数时才有可能是梅森素数。
因此，梅森素数的数量非常有限。
目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1。
这个数字有24,862,048位，是目前已知的最大素数。
那么，梅森素数的分布规律是什么呢？数学家们发现，梅森素数的数量并不是随机分布的，而是呈现出一定的规律性。
具体来说，梅森素数的数量随着p的增大而减少。
这个规律被称为梅森素数定理。
梅森素数定理的数学表达式为：如果2^p-1是素数，那么p也必须是素数。
这个定理的证明非常复杂，需要运用到数论、代数学等多个数学分支的知识。
但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理。
例如，当p=2时，2^p-1=3，是一个素数。
当p=3时，2^p-1=7，也是一个素数。
但是当p=4时，2^p-1=15，不是一个素数。
因此，梅森素数定理成立。
梅森素数的分布规律不仅仅是一个数学问题，它还涉及到计算机科学、密码学等多个领域。
梅森素数被广泛应用于随机数生成、加密算法等方面。
因为梅森素数的数量非常有限，而且它们的位数非常大，因此可以用来生成高质量的随机数，保证加密算法的安全性。
梅森素数的分布规律是一个非常有趣的数学问题。
通过研究梅森素数的分布规律，我们可以深入了解素数的性质，同时也可以应用到计算机科学、密码学等多个领域。
数学珍宝梅森素数
数学珍宝梅森素数 ——迄今人类仅发现47个已知最大的梅森素数法国数学家马林_梅森数学珍宝梅森素数众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是其中成果较为卓著的一位，因此后人将形如“2p-1”的正整数，其中指数p是素数，称为梅森数(Mersenne number)。
梅森数常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
一、概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？！是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
人类迄今发现的最大素数，最纯粹的梅森素数
如果有人问，人类到目前为止研究进展最缓慢的领域是什么？别的学科，见仁见智。但要是数学上的话，毫无疑问是对于素数的研究。古老而又漫长，有无数人前赴后继去研究，然而，成果却真心是不多。
上古大神——欧几里得
公元前300年，欧几里得最早研究了形如2N-1的素数，发现了这个性质：
若2N-1是素数，则2N-1×(2N-1)是一个完全数。
这个性质用等比数列的求和公式很容易验证，也就是说只要找到新的梅森素数，新的完全数也就诞生了。后来人们又发现了一个性质：
若2N-1是素数，则N必定为素数。
我中学时代也曾经琢磨过这个问题，其实这个问题用因式分解就可以证明：
这个命题的逆命题却不一定成立，事实上，假如逆命题也成立的话，那么素数的秘密恐怕在几百年前就基本上揭露殆尽了。但是当N等于某一些素数的时候，2N-1却真的可以是素数。
到目前为止，已经有60万人加入了这个几乎等同于公益性质的项目了，在数百万台个人计算机的加ห้องสมุดไป่ตู้之下，这个项目目前的算力可以达到2300万亿次每秒，这个算力跟最厉害的超级计算机基本持平，但是成本却几乎为零。人们从这个项目里一共发现了16个梅森素数，当然也就发现16个新的完全数了。
值得一提的是在2017年12月26日，美国人佩斯（不是中国佩斯）发现了第50个梅森素数，这个数大概有2300多万位，可以用277232917-1来表示，这是当时已知最大的素数（2018年12月7日发现了第51个梅森数M(82589933)）。
其次这种需要大量计算的事件中，为了达到最终结果，算力是一方面，另外一方面更加重要的是算法的革新。如果算法复杂度很低，那么你就可以用很有限的算力，就可以获得极高的成果。举个最动听的例子，2001年，一个叫魏德涅夫斯基的德国人通过分布式计算的方法，在世界上动用几万台计算机来一起寻找黎曼猜想的非平凡零点，截止到2004年末，得到了大约1万亿个非平凡零点。然而几乎在同时，两个法国年轻人宣布，用自己的几台个人计算机，用时1年，居然发现了10万亿个非平凡零点，人们直呼不可思议。后来人们才了解，他们用了更加高明的计算公式，这个公式的执行效率远比魏德涅夫斯基采用黎曼-西格尔公式高的多，所以就产生了如此戏剧性的事件。几台个人电脑居然PK掉了几万台计算机，甚至还高出了1个数量级！至此，魏德涅夫斯基用计算机找寻海量黎曼猜想非平凡零点的项目才停止下来。毫无疑问，算法有效性提高的意义要远远高于计算力的提高。
寻找梅森素数的新方法
寻找梅森素数的新方法陈德建【摘要】There is one to one correspondence between Mersenne Prime and even perfect number. 46 Mersenne Primes have been searched in the past 2300 years. The first difficulty to search for Mersenne Primes is that Mersenne number are too enormous, and the other is that its prime factors are difficulty to find. Traditional way to seek Mersenne Primes are mental arithmetic （or calculate by hand） and by computer. After traditional ways are analyzed, a new way to seach fo Mersenne Primes is put forward, that is, if q is prime, Mq also prime, MMq is Mersenne Primes too. This can be testified with infinite descending interval set and contradiction.%梅森素数与偶完全数有一一对应关系,人类在2300多年中寻找到46个梅森素数.寻找梅森素数之难一是梅森数的巨大,二是其素因数也难找.传统的寻找方法是心算手算和计算机搜索.分析传统方法之后,提出一种新方法,即用无限递缩的区间套和反证法证明若q为素数,Mq为梅森素数,则M Mq也是梅森素数.【期刊名称】《重庆三峡学院学报》【年(卷),期】2012(028)003【总页数】7页(P17-23)【关键词】梅森素数;传统方法;无限缩小的区间套;反证法;证明【作者】陈德建【作者单位】黎明职业大学,福建泉州362000【正文语种】中文【中图分类】O156.11 序言定义：形如2p-1的素数称为梅森素数，记为Mp.梅森（Mersrnne Marin 1588—1648），法国数学家、自然哲学家、宗教家.他在1644年提出了梅森素数，梅森素数的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义.梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误.他说，对是素数，而p＜257的其他素数对应的Mp都是合数，无人知晓他如何得到以上结论.到1947年有了台式计算机，人们才能检查他的结论.发现他犯了5个错误.M67和M257不是素数，而M61、M89、M109是素数.梅森素数貌似简单，但研究难度却很大.它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算.1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是第八个梅森素数，即它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数.欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉.法国大数学家拉普拉斯（place）称赞欧拉是“我们每一个人的老师”.在“手算笔录的年代”人们历尽艰辛，仅找到12个素数.电子计算机的出现，大大加快了梅森素数的步伐.1952年，美国数学家鲁滨逊等人在使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：和但寻找梅森素数依然很难，从欧几里德时代至今的2 300多年，人类只找到46个梅森素数.它们是：2 43112609-1，这个在普通人看起来颇为奇特的数字，近来（2008年）正让国际数学界乃至科学界为之欣喜若狂.这是人类发现的第46个也是最大的梅森素数.它有12 978 189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下去，长度可达50km!这一发现被著名的《时代周刊》评为“2008年度50项最佳发现”之一，排名29位.为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会（EFF）不久前向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数而设立的奖金.规定第一个找到超过1 000万位数的个人或机构颁发10万美元；超过一亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元.绝大多数研究者并不是为了金钱，而是出于乐趣，荣誉感和探索精神.梅森素数是否有无穷多个，梅森素数有什么样的分布规律等问题都是强烈吸引一代又一代研究者的世界著名问题.梅森素数的难寻不仅在与梅森数MP随素数p的增大而迅速增至巨大，还在于梅森合数的因子也难于寻找.1867年，人们已经知道M67是合数，但对于它的因子一无所知.直到1903年10月在美国数学会上数学家科尔（Freidric Nelson Cole）提交了一篇论文《大数的因子分解》.当科尔自在黑板上写上 2 67-1 = 19370771× 761838257287时，会场上爆发了强烈的掌声.现在我们知道不大于257的素数有55个，梅森素数有12个，梅森宣告的10个梅森素数错了2个，而43个梅森合数仅错了4个，依然十分了不起.从第13个梅森素数开始，即从M521开始，都是在1952年以后，借助电子计算机而陆续发现的.传统的探寻方法有二：一是心算笔算，二是借助电子计算机搜索.令人不解的是台式电子计算机在检查梅森研究结果时居然漏掉了M19这个梅森素数.由此可推断虽然电子计算机在寻找梅森素数时有一定的或然性.换句话说，在已知的梅森素数之间还可能找到新的梅森素数.数学史上有个故事，有一个人排出六角形幻方，后来忘记了，他花了47年时间才第二次找到，另一个人用证明的方法花了一年也排出了这唯一的六角形幻方.2 证明以下我们来证明若q为奇素数，Mq为梅森素数，令则为梅森素数.定理1（费马小定理）：若p为素数，有定理 2：设p是一个奇素数，q是Mp的一个素因数，则q形如： q= 2 kp+1[2].例如：211-1=2 047=23×89，223-1=8 388 607=47 ×178 481，229-1=536 870 911=233×1 103×2 089，237-1=137 438 953 471=233×616 318 177.由定理 1，知使得于是， M p=2Tp+ 1.若2Tp+1为素数，命题成立.若不然，必有其中m，n∈N.2T p +1= 4 mnp 2+ 2(m + n)p+1，两边同减去1后除以2p，得因为 2q-1= 2sq +1= p，有由于2p-1非平方数，m≠n，不妨设m＜n.因q=5时是梅森素数;2Mq - 1= M127是梅森素数.M 13 = 8191，log2 =0.301029995，8191×0.301029995 =2465.736694，即28191-1有2 466位.由于 M M13、M M17、M M19是合数.以后设q≥31，2mnp＞＞ m+n ，22sq ≈2q+1mn，为论述方便，不妨设为整数）. 整理得由于约去p，得（3）式右边（3）式左边首项（3）两边同减 22sq-q 得即由算术基本定理得又有作方程，由一元二次方程的求根公式也即m＞x2，而 n＞x1.因此有,而由设为正整数.由综合除法m0为正整数.则整理得由有由（7）有，由（8）有由综合除法有，由（9）有，由算数基本定理有，，由所设知0.292893218 ×2 (s-1)q ＜m＜ 2 (s-1)q ,0.292893218 ×2 sq+1＜2 sq-1 +m＜2sq+10，即1.即由于所以同理，所以因此有，由（11）式有由于有同时因此有由（12）式有也即同时综之有由（13）式有同时，由（14）式有由（15）式有同除以 2sq-1，得 0由（16）式有同除以 2sq-1，得8 m0同时有综之有从（11）式到（17）式，m0的下限不变，上限不断下降，n0则上限不变，下限不断上升.这样的过程可以无限进行下去，其极限情况是m0、n0的上下限合而为一.此时，（18）式左边是无理数，而右边是正整数，与算术基本定理矛盾.故2T p +1 =（ 2 mp + 1)(2 np +1)的分解式不存在.即是素数，即梅森素数.证毕.推论这39个梅森数都是梅森素数.如果记Mq=M(q)，则显然 M(M(q ))仍为梅森素数. M(M (M (q )))为梅森素数，M(M …(M (q))…)仍为梅森素数，M(M …(M (43112069))… )是梅森素数.参考文献：[1]王元.谈谈素数[M].上海：上海教育出版社，1983.[2]柯召，孙琦.数学讲义（上）[M].北京：高等教育出版社，1990.[3]张四保.有关梅森素数的预测[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2009（5）.。
世界上最大的
世界上最大的
如果单论大小的话，很显然没有最大的数，可是这样的话这个问题就没意思了。
那么在阿伏伽德罗常数这类有具体意义的数中，哪个最大呢？
据数学之神王♂琦说，应该是梅森素数。
什么是梅森素数呢？当x=（2^n-1）且x为素数时，x就是一个梅森素数。
由于梅森素数增长极快，所以一般已知的最大的梅森素数同时也是已知的最大的素数。
截止至2018年12月7日，我们发现的最大的一位梅森素数是
2^82589933-1，它一共有24862048位数。
2018年1月13日，日本一家出版社把当时已发现的最大的梅森素数2^77232917-1从头到尾打印出来出版成书，取名为《最大的素数》。
这本书装帧设计非常简单，720页密密麻麻的全是数字，而且4天时间就卖出了1500本，当时在亚马逊甚至还常常处于缺货状态。
这些人好无聊啊
真.天书
参考资料。
梅森素数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
梅森素数
梅森素数在实用领域也有用武之地，现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将......
1 9 5 2 年 1 月 3 0 日 晚 ， 美 国 数 学 家 拉 斐 尔 ·鲁 滨 逊 （ 1 9 11 ～ 1 9 9 5 ） 在 莱 默 指 导 下 将 此 方 法 编 译 成 计 算 机 程 序 ， 利用加州大学洛杉矶分校的SWAC型计算机，几小时内就找到了两个100位以上的梅森素数 和 。SWAC即标准西 部自动计算机，是当时运算速度最快的计算机之一。随后的几个月，鲁滨逊使用该计算机又接连找到 、 和 。
寻找历程
计算机时代
手算笔录时代
互联网时代
手算笔录时代
早在公元前4世纪，古希腊著名数学家欧几里得（前330～前275）就提出了2p－1型素数的概念，即可以表 示为2p－1形式的素数。他发现这种类型的素数和完全数之间有着密切联系：如果2p－1是素数，则2p－1（2p－ 1）是完全数。欧几里得的结论为2p－1型素数研究奠定了基础。不过在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个 2p－1型素数： 、 、 和 ，发现人已无从考证。
寻找梅森素数在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是目前发现已知最大素数的最有效途径。自欧拉 证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。
寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如M1257787就是1996年9月美国克雷公司在 测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素 数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因此 它的研究推动了“数学皇后”——数论的发展，促进了计算数学和程序设计技术的发展。 分布式计算是目前寻找 梅森素数的主要方式
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Table of Known Mersenne Primes
注意：目前还不确定在M32582657和M57885161之间是否 还存在未知梅森素数，其后的序号用 * 标出。
Search Process
一、手算笔录时代
在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个 2^p-1 型素数： 3 、 7 、 31 和 127 ，发现人已无从考证。 1456年，又一个没有留下姓名的人在其手稿中给了 第5个2^p-1型素数：8191。
三、完全数
数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式： 如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1） 2^（p-1）便是一个完全数。例如： 形如2^p-1的素数， p 2 : 6 21 (2 2 1) 称为梅森素数。 p 3 : 28 2 2 (23 1) 如果2^p-1为素数 4 5 p 5 : 496 2 (2 1) 则p必为素数， 6 7 p 7 : 8128 2 (2 1) 反之不成立。
（/mersenne/index.html）
Early History
公元前 4世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原 本》第九章中论述了完全数与2p－1型素数的关系， 并提出有少量素数可表示成2p－1（p为素数）的形 式，由此开创了研究2p－1型素数的先河。
Early History
1644年在马林·梅森的《物理数学随感》一书 中断言：在不大于257的素数中，当p=2、3、5、 7、13、17、19、31、67、127、257 时，2p-1 是素数，其它都是合数。
后来人们才知道梅森的断言其实包含着若干错 漏。不过他的工作却极大地激发了人们研究 2p-1素数的热情。由于梅森学识渊博、才华横 溢，最早系统而深入地研究 2p-1型的数，为了 纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数” ， 并以 Mp 记之。如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数” （即2p-1型素数）。
p 11: 2047 23 89 （合数） p 13 : 33550336 212 (213 1)
梅森素数和偶完全数是一一对应的。
Table of Known Mersenne Primes
Table of Known Mersenne Primes
Table of Known Mersenne Primes
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Mersenne Primes
一、素数
在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
（如2、3、5、7等等）
二、梅森素数
素数有无穷多个，但目前只发现有极少的素数能 表示成 2 p 1（p为素数）的形式，这就是梅森素数。
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496 =2
c. 除了 6以外，完全数可表示成连续奇立方数之和 . 28 13 33
496 13 33 53 73 8128 13 33 53 153
Perfect Numbers
1883年，俄国数学家波佛辛（1827～1900）利用卢 卡斯定理证明了 M61也是素数—— 这是梅森漏掉的。 梅森还漏掉另外两个素数： M89 和M107，它们分别 在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（1875～1952） 发现。
Search Process
一、手算笔录时代
1903 年，数学家科尔（1861～ 1926）第一个否定了 “ M67为素数” 这一自梅森断言以来一直被人们相 信的结论，算出2^67-1 = 193707721 × 761838257287。1922年，数学家克莱契克（1882～ 1957）进一步验证了M257并不是素数，而是合数。
15世纪，发现第5个2p－1型素数。
16世纪，意大利数学家卡塔尔迪开始对此类素数进 行整理。 17世纪，法国数学家马林 ·梅森的工作成为 2p－ 1 型素数研究的转折点和里程碑， “梅森素数” 也 由此得名。
Early History
马林·梅森
马林 · 梅森是当时欧洲 科学界一位独特的中心 人物，他与很多科学家 经常保持通信 ，讨论数 学、物理等问题。梅森 还是法兰西学院的奠基 人，为科学事业做了很 多有益的工作 ，被选为 “ 100 位在世界科学史上 有重要地位的科学家 ” 之一。
意大利数学家卡塔尔迪（1548～1626）也对这种类 型的素数进行了整理，他在1588年提出M17和M19也 是素数，由此成为第一个在发现者榜单上留名的人。
Search Process
一、手算笔录时代
1772年，在卡塔尔迪之后近 200 年，瑞士数学家欧 拉（1707～1783）在双目失明的情况下，靠心算证 明了M31是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素 数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素 数。
a.所有的完全数都是三角形数.例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7 496=1+2+3+...+30+31 8128=1+2+3…+126+127
Perfect Numbers
三、完全数
b.所有的完全数的倒数都是调和数.例如：
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
Perfect Numbers
三、完全数
各个小于它的约数（真约数）之和等于它本身的 自然数叫做完全数（Perfect number）。
例如： 6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 ......
Perfect Numbers
三、完全数
欧拉还证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理： 所有的偶完全数都具有2^(p-1)(2^p-1)的形式，其 中 2^p-1是素数。这表明梅森素数和偶完全数是一 一对应的。
Search Process
一、手算笔录时代
100年后，法国数学家卢卡斯（Lucas,1842～1891） 提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理—— 卢卡斯定理，并证明了M127是一个