如何寻找最大梅森素数

Table of Known Mersenne Primes
注意：目前还不确定在M32582657和M57885161之间是否 还存在未知梅森素数，其后的序号用 * 标出。
Search Process

一、手算笔录时代

在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个 2^p-1 型素数： 3 、 7 、 31 和 127 ，发现人已无从考证。 1456年，又一个没有留下姓名的人在其手稿中给了 第5个2^p-1型素数：8191。

三、完全数
数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式： 如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1） 2^（p-1）便是一个完全数。例如： 形如2^p-1的素数， p 2 : 6 21 (2 2 1) 称为梅森素数。 p 3 : 28 2 2 (23 1) 如果2^p-1为素数 4 5 p 5 : 496 2 (2 1) 则p必为素数， 6 7 p 7 : 8128 2 (2 1) 反之不成立。
（/mersenne/index.html）
Early History

公元前 4世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原 本》第九章中论述了完全数与2p－1型素数的关系， 并提出有少量素数可表示成2p－1（p为素数）的形 式，由此开创了研究2p－1型素数的先河。
Early History

1644年在马林·梅森的《物理数学随感》一书 中断言：在不大于257的素数中，当p=2、3、5、 7、13、17、19、31、67、127、257 时，2p-1 是素数，其它都是合数。

后来人们才知道梅森的断言其实包含着若干错 漏。不过他的工作却极大地激发了人们研究 2p-1素数的热情。由于梅森学识渊博、才华横 溢，最早系统而深入地研究 2p-1型的数，为了 纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数” ， 并以 Mp 记之。如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数” （即2p-1型素数）。
p 11: 2047 23 89 （合数） p 13 : 33550336 212 (213 1)
梅森素数和偶完全数是一一对应的。
Table of Known Mersenne Primes
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Mersenne Primes

一、素数
在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
（如2、3、5、7等等）

二、梅森素数
素数有无穷多个，但目前只发现有极少的素数能 表示成 2 p 1（p为素数）的形式，这就是梅森素数。
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496 =2
c. 除了 6以外，完全数可表示成连续奇立方数之和 . 28 13 33
496 13 33 53 73 8128 13 33 53 153
Perfect Numbers
1883年，俄国数学家波佛辛（1827～1900）利用卢 卡斯定理证明了 M61也是素数—— 这是梅森漏掉的。 梅森还漏掉另外两个素数： M89 和M107，它们分别 在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（1875～1952） 发现。

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一、手算笔录时代

1903 年，数学家科尔（1861～ 1926）第一个否定了 “ M67为素数” 这一自梅森断言以来一直被人们相 信的结论，算出2^67-1 = 193707721 × 761838257287。1922年，数学家克莱契克（1882～ 1957）进一步验证了M257并不是素数，而是合数。


15世纪，发现第5个2p－1型素数。
16世纪，意大利数学家卡塔尔迪开始对此类素数进 行整理。 17世纪，法国数学家马林 ·梅森的工作成为 2p－ 1 型素数研究的转折点和里程碑， “梅森素数” 也 由此得名。

Early History

马林·梅森
马林 · 梅森是当时欧洲 科学界一位独特的中心 人物，他与很多科学家 经常保持通信 ，讨论数 学、物理等问题。梅森 还是法兰西学院的奠基 人，为科学事业做了很 多有益的工作 ，被选为 “ 100 位在世界科学史上 有重要地位的科学家 ” 之一。
意大利数学家卡塔尔迪（1548～1626）也对这种类 型的素数进行了整理，他在1588年提出M17和M19也 是素数，由此成为第一个在发现者榜单上留名的人。

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一、手算笔录时代

1772年，在卡塔尔迪之后近 200 年，瑞士数学家欧 拉（1707～1783）在双目失明的情况下，靠心算证 明了M31是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素 数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素 数。

a.所有的完全数都是三角形数.例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7 496=1+2+3+...+30+31 8128=1+2+3…+126+127
Perfect Numbers

三、完全数
b.所有的完全数的倒数都是调和数.例如：
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
Perfect Numbers

三、完全数
各个小于它的约数（真约数）之和等于它本身的 自然数叫做完全数（Perfect number）。
例如： 6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 ......
Perfect Numbers

三、完全数
欧拉还证明了欧几里得关于完全数定理的逆定理： 所有的偶完全数都具有2^(p-1)(2^p-1)的形式，其 中 2^p-1是素数。这表明梅森素数和偶完全数是一 一对应的。

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一、手算笔录时代

100年后，法国数学家卢卡斯（Lucas,1842～1891） 提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理—— 卢卡斯定理，并证明了M127是一个