第四章 级数(余家荣2014)

an 1 5n 1 n ! 5 lim n lim 0 1 由比值判别法 nlim n ( n 1)! 5 a n n 1 n
5n 级数 收敛 , 所以原级数绝对收敛 . n 1 n !
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in n 1 n
n
否则称序列{zn}发散 .
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z n z0 3. 定理1.1: 设 z0= a+ib nlim
lim an a n lim bn b n
【例1.1】下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 .
1 i (1) zn (1 ) e n n



z , 则级数 ( zz z z
n 1 n
z1 ) zn
柯西乘积
也绝对收敛, 且其和为 .
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【例1.2】判断下列级数的敛散性
1 i (1) 1 n n 1 n

(二). 一致收敛的复数项级数 1. 定义2.3: 如果 0, N ( ) 0, 使得当 n N , z E 时
| f k ( z ) f ( z ) |
k 1
n
那么称
f
n 1

n
( z ) 在E上一致收敛于函数 f(z)
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内闭一致收敛的复数项级数 设函数fn(z)(n=1,2,3,…)在C上区域D内解析,如果 级数
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n
1 (1 ) (cos i sin ) n n n
(二).复数项级数 1. 一系列定义
(1). 定义1.3: 设z1, z2,…zn…是复数项序列 ①
z
n 1

n
z1 z2 zn 称为复数项级数 .
n
② n zk z1 z2 zn 称为
为在E上的复数项级数, 记为 f n ( z ) or f n ( z )
n 1

2. 定义2.2: 设函数f(z)在E上有定义, 如果对于E上每一
点, 级数
f
n 1

n
( z ) 都收敛于f(z), 那么称
f
n 1

n
( z)
在E上收敛于函数 f(z) (和函数). 记为
f
1 1 n 1 ( 1) i (1) 2n 2n 1 n 1 n 1 n
1 1 n n 1 , (1) 因为 ( 1) 2n n 1 2n 1 n 1

收敛
所以原级数条件收敛 .
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作业P84 1 .

C
f ( z )dz f n ( z)dz 0
n 1 C

由MoreraTh , 可见f(z)在U内解析, 再由于z0是D内 任意一点, 因此f(z)在D内解析
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(2)由于U的边界即圆K也在D内, 于是对于z∈K
f ( z) fn ( z) 一致收敛于 k 1 k 1 ( z z ) n 1 ( z z0 ) 0
| fn1 ( z) fn2 ( z) fn p ( z) |
3. 预备定理2:(魏尔斯特拉斯判别法) 设级数 f n ( z ) 的各项在点集E上有定义, 级数
n 1
a
n 1
n
是一个收敛的正项级数. 如果在E上
| fn ( z) | an
n 1
k 1
z
n 1

n
的部分和.
z
k 1

k
lim n
n
n a ib 或 zn a ib (2). 定义1.4: 如果 nlim
n 1
则称此复数项级数收敛于 σ . 否则称发散。
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2. 定理1.2 (复数项级数的基本定理) 设 zn = an+ ibn , σ = a + ib, n = 1,2,…
第四章
§1 级数和序数 的基本性质
三.幂级数
级数
一.复数项级数和复数序列 二.复变函数项级数和复变函数序列 四.解析函数的泰勒展式 五.零点 六.解析函数的唯一性 七.解析函数的洛朗展式 八.解析函数的孤立奇点 九.解析函数在无穷远点的性质
§2 泰勒级数
§3 洛朗展式
十.整函数与亚纯函数的概念
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补充题:
判断下列级数的敛散性
in (1) n 2 ln n


(3 5i)n (2) n! n 1

cos in (3) n 2 n 1

1 5i n (4) ( ) 2 n 1
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二. 复变函数项级数和复变函数序列
(一). 基本概念 1. 定义2.1: 设复数项序列{f(zn)} (n=1,2,…) 在复平面点 集E上有定义 , 则称 f1 (z)+ f2 (z)+ …+fn(z)+…
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三.幂级数 (解析函数项级数中最简单的级数)
(一) .幂级数的概念 1. 定义3.1: 形如下列的级数称为幂级数
n 2 n ( z z ) ( z z ) ( z z ) ( z z ) , n 0 0 1 0 2 0 n 0 n 0
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3. 绝对收敛与条件收敛 (1). 定义1.5 ① 若 ② 若
| z
n 1

n
| 收敛，则称 | 发散，而

z
n 1 n

n
绝对收敛 .
| z
n 1
n
z
n 1
收敛 . 则称
z 条件收敛 .
n 1 n

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(2). 定理1.3 ①
ห้องสมุดไป่ตู้
(n 1, 2,)
则级数 f n ( z )在E上一致收敛.
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设E表示区域,闭区域,简单曲线 4. 定理2.1 设级数 f n ( z ) 的各项在点集E上连续,
n 1
并且一致收敛于f(z), 则和函数f(z)也在E上连续.
5. 定理2.2 设级数
f
(3 4i) n (2) n! n 1

in (3) n 1 n

1 1 1 (1) 原式= i 2 因为 发散 , 所以原级数发散 . n 1 n n 1 n n 1 n
(2)

n 1

n 2 2 n 5 (3 4i ) n n ( 3 4 ) a n! n 1 n! n 1 n ! n 1
| z
n 1 n 1

n
| 收敛 | 收敛, 则
| a |, | b
n 1



n
n 1
n
| 收敛
② 若
| z
n
z
n 1
n
收敛 . 反之不成立 .
级数收敛的一个充分条件
③ 如果级数

z , z 绝对收敛 , 并且 z ,
n 1 n n 1 n n 1 n n 1 1 n 2 n 1
§1、 级数和序列的基本性质
一.复数项级数和复数序列 (一).复数序列 1. 定义1.1: 设 zn=an+ibn (n=1,2,…), 其中an , bn 是实数, 则称z1, z2, … zn, …为复数项序列. 2. 定义1.2: 设z0是一个复常数, 如果 0, N 0, 使得 当n>N 时, | zn z0 | . 则称序列{zn}收敛, 且收敛于z0 . 记为 lim zn z0
n 1

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作业P84 1 . 4.(证明定理2.2)
补充题:
判断下列级数的敛散性
in (1) n 2 ln n


(3 5i)n (2) n! n 1

cos in (3) n 2 n 1

1 5i n (4) ( ) 2 n 1
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由定理2.2,有
fn ( z) k f ( z) k dz dz k 1 k 1 2 i K ( z z0 ) 2 i n1 K ( z z0 )
即: f ( k ) ( z0 ) f n( k ) ( z0 ) (k 1, 2,)
n 1
f
n 1

n
( z ) 在D中内闭一致收敛于f(z),
逐项微分
(3) 级数
n 1
f n( k ) ( z ) 在D中内闭一致收敛于f (k)(z).
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Proof:(1) 设z0是D内任意一点, 在D内取z0的一个邻域U, C是U内的任意一条简单闭曲线, 由Th2.2及柯西定理
i 1 )e n
(2) zn n cos in
解:(1)由 zn (1
a (1 1 ) cos lim an 1 n n n n 收敛且 lim zn 1 n lim b 0 1 n bn (1 )sin n n n n n e e zn 发散 (2)由 zn n cos in n , 显然 nlim 2
如果级数 f n ( z ) 在 D 内的任一有界闭 区域上一致收敛于f(z) , 则称级数 在D中内闭一致收敛于f(z).
f
n 1

n
( z)
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2. 定理2.3(魏尔斯特拉斯定理) 设 (1) 函数 fn(z) (n=1,2,…)在区域D内解析, (2) 设级数 则 (1) f(z)在D内解析 (2) 在D内 f n( k ) ( z ) f ( k ) ( z )
f
n 1

n
( z ) 在D内任意有界闭区域上一致收敛
于f(x), 则称该级数在D内一致收敛于f(z).
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2. 预备定理1:(柯西一致收敛准则)
级数
f
n 1

n
( z ) 在E上一致收敛于函数 f(z)
0, N ( ) 0, 使得当 n N , z E, p 1, 2, 时

i n 1 (3) | | 发散 n 1 n n 1 n

1 i 1 i 1 i i 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) i (1 ) 2 4 6 8 3 5 7 9 11
(1).

z
n 1
n
a ib an a, bn b
n 1 n 1
(2). 级数收敛的必要条件为 lim zn 0
n
(3). (柯西收敛原理) 级数
z
n 1

n
收敛的充分必要条件为 0, N 0,使得
当n > N , p = 1,2…时, | zn 1 zn 2 zn p | .
其中z是复变量 zo,αn 是复常数 2. 幂级数的重要意义在于
一般幂级数在一定的收敛区域内收敛于一个解析函数; 在一点解析的函数在这点的邻域内可以用幂级数表示出来 .
泰勒展式
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和函数
【例1.3】判断下列幂级数的敛散性
n 1

n
( z) f ( z)
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ε-N 语言: 如果 0 , 以及给定的 z E , N ( , z ) 使得当 n N 时
| f k ( z ) f ( z) |
k 1
n
那么称
f
n 1
n
( z ) 在E上收敛于函数 f(z)
n 1

n
( z ) 的各项在简单曲线C上连续,
并且级数在 C上一致收敛于f(z), 则

n 1

C
f n ( z )dz f ( z )dz
C
逐项积分
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(三). 解析函数项级数 1. 定义2.4 设级数
f
n 1 n 1

n
( z ) 的各项在区域D内解析,