范式求法解析

关于范式求法解析

摘要：离散数学中，主合取范式的目的在于讨论公式的主合取范式。该文中对主合取范式求解方法进一步推广，共给出4种求解方法。真值表法、推演法、用真值表法求的主合取范式、用推演法求的主析取范式等4种方法。

关键词：主范式推演方法

中图分类号：g64 文献标识码：a 文章编号：1674-098x（2012）12（c）-0-01

分析主合取范式求解方法需要先说明简单合取式，合取范式以及极大项定义。

定义1：简单合取式是仅由有限个命题变项或否定构成的合取式。例如：

定义2：仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。设，为简单析取式，则是合取范式。

定义3：设命题公式中含个命题变项，如果的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为主合取范式。

定义4：极大项是这样的简单析取式，在含个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项与其否定不同时存在，而二者之一必出现且仅出现一次，且第个命题变项或其否定出现在左起的第位上。

求一个公式的主合取范式有直接求法和间接求法，直接求法与间接求法各有两种，4种方法并进行理论解析。

方法：1：

定理1.对于任意的公式，可按下面的方法求出其主合取范式：（1）列出公式的真值表。

（2）真值表最后一列的左侧二进制数对应的极大项写出来。

证明：按照上面得出的极大项的合取范式为，下证就行。设中包含了个命题变元，而且由上面方法可得出个极大项。依照的顺序取公式中任一个解释，对应的二进制数转化为十进制数后记作m。

那么。

如果，则对应的极大项必为中的一个。此时由极大项性质。

如果，那么对应极大项肯定不在中，这时由极大项性质。

于是，且必为唯一主合取范式。

如果已知公式层次非常多时，列真值表带来麻烦，计算量加大。方法2：

定理2.对于任意命题公式，其主合取范式可以由下面的推演法求得。设为命题公式的个命题变元。

（1）将命题公式化为任一合取范式。

（2）检查中每个简单析取式是否为极大项。如果是，就保留；如果不是关于的极大项，则中必然缺少某些命题变项，则

以上推演中，反复使用分配律、交换律、结合律、等幂律、互补律、零一律、同一律等算律，最终将简单析取式转化成若干个极大项的合取形式。对于中其他不是极大项的简单析取式，反复使用上述方法，化为若干个极大项的析取式，最后将公式运用一些运算律，整理为规范的主合取范式。

如果公式中命题变项较多，所有原子命题变项关系复杂而且包含不易化为合取范式的符号；或化为析取范式后，所缺命题变项较多，这种方法就会很麻烦，很容易出现错误，不建议运用。将公式化为合取范式后，所缺命题变项相比之下就会少很多，在比较接近主合取范式时，用此法可解决问题。

例求公式的主合取范式

解将记为a，先将其化为合取范式：

此范式不是主合取范式，出现的简单析取式不是极大项，例如在中没有出现。因此用等值式凑上。

最后得到的主合取范式为的主范式，其中出现5个极大项，使得为t的真值赋值是这5个极大项对应真值赋值，而使为f，即：为真的真值赋值是其余3个极大项所对应真值赋值.因此主合取范式是剩下3个极大项的合取式。

方法3：

定理3.设公式含有个命题变元，公式是按定理2的方法得到的的主合取范式；则将公式中没有出现的关于极大项全合取出来为公式，即为的主合取范式。

证明：下证，已知。设为公式的个极大项，而是关于命题变项的另个极大项。设为公式的任一个解释，则为公式的任一解释。

如果，则解释必使的某些极大项真值为假；此时有。那么由极大项的性质（2），此解释一定使其他所有极大项为0，因此。所以。如果，则解释不满足中任一个；于是有，由极大项性质，一定满

足中某些极大项，因此，所以。综上。

特点：如果公式比公式形式更为简单，那么先求出，然后列出的真值表，最右列公式真值表中1对应的极大项写出来，可得到的主合取范式。如果已知的主合取范式，那么由此定理直接写出的主合取范式。

方法4：

定理4.对于命题公式，可按下面方法求出其主合取范式：a）用推演法求出命题公式的主合取范式；b）由，求出的主合取范式；c）把的主合取范式成求出来；

特点：（1）如果命题公式的主析取范式，使用推演法很容易求得，则使用此定理可非常方便地求出命题公式的主合取范式。（2）由此定理可认为对于任一命题公式的主合取范式和主析取范式可相

互转换，我们可根据实际情况自行选择。

参考文献

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