结晶学第三讲—晶体投影[1]

Wood 符号
p(1x1) p(2x2) (3x3)R30o p(1x1) c(2x2) p(2x2)
fcc(111), hcp(0001)
fcc(100), bcc(100)
sc
bcc
fcc
Surface Reconstruction (II)
p(2x1)
p(2x1) c(2x2)
bcc(110)
z x y
(101) (011)
(110)
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
[001] (010)
a = b = c, = = = 90o
001
(100) [010] [100] (001)
100 010
{100},<100>
(011)
(101)
(110)
(111)
(111)
第三讲(II)
点对称操作
晶体对称的特点：晶体外形的对称（宏观对
称）决定于晶体内部结构的对称性（平移对称性）， 所有的晶体结构都是对称的。晶体外形是有限图形， 宏观对称是有限的，而微观结构被视作无限的。晶 体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性 质上。
花椒凤蝶
Natural Diamond
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
习题：
结晶学
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第二讲 晶体中的点、线、面
周期性
晶体的对称性是由其周期性所决定的
晶体结构 = 基元 + 点阵
晶体是这样构成的：在每一个格点上附加一个全同的基元，该 基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定， j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。
001 010
011
011 111 101 110
100
010
y
110
100
010
x
Cu单晶体的极射赤面投影
100
110 101 111
010
110
111
001
011 111
011 111 101 110
100
010
为何不作两维格 子的投影？ 为何不关注正交 或四方晶格非主 轴方向的赤面投 影？
110
a4
P4
P3
微观对称性的反映
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)

A
r
P
基圆
基圆平面
O
p

/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
极距角、方位角
晶体的投影
N
球面 基圆
S
晶体的球面投影
球面上点的极射赤面投影
球面上小圆的投影
N
球面 O
N
A
B C
N
基圆
O
S
水平小圆
S
直立小圆
100 (001) (0Baidu Nhomakorabea0) (100)
001 010
001
010 001
010
100
100 110
101 110 011 011 101
(101) (011) (110)
(110)
011 011
110
110
100
110
(111) (111)
110 101 111
001
111 (111) (111) (111) (111) 111
点阵，Lattice
基元，Basis
晶体结构 = 基元 + 点阵
a
a
点阵，Lattice
基元，Basis
1
2 a a/2 3 对称性？？
a
点阵，Lattice
1
2 基元，Basis
3
点阵，Lattice 3 2 4 b a 1
基元 Basis
Oblique, a ≠ b 初基晶胞，primitive unit cell 晶胞，lattice unit cell
fcc(110)
S
倾斜小圆
球面上大圆的投影
N N N
球面
z x
y
S
S
S
基圆
y x
极式网 and 赤式网 (Wulff net)
极式网
赤式网
球面大圆上点的投影、夹角
球面
z x y y x
基圆
y x
极式网 and 赤式网 (应用，晶面夹角测量)
极式网
赤式网
y
y
x
x
例：铜单晶体的极射赤面投影
(001) (010) (100)
43.51 carat
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Type Ib HPHT Diamond
重要概念：对称操作、点对称操作、参考轴、
对称算符
1
1) (E，L
z x y
y
m (，P )
x
z x
y
y
x
极射赤面（平）投影
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
点阵，Lattice
点阵，Lattice
基元，Basis

c a

b

简单立方 sc
体心立方 bcc
面心立方 fcc
点阵，Lattice
基元 Basis
[-1-10] b [410]
a
方向指数 [uvw] 晶面指数 (hkl)
(420)
(430)
(210)
[010] (010) b a
[120]
c (100) [010] a b
[100]
(001)
{100},<100>
(011)
(101)
(110)
{110},<110>
a = b ≠ c, = = = 90o
四方，作立方类似分析？
a≠ b≠ c, = = = 90o
正交，作立方类似分析？
sc
bcc
fcc
Surface Reconstruction (I)
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
Rectangular, a ≠ b = 90o
正方
Square, a = b
= 90o
六角
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o

c a

b

基元，Basis
点阵，Lattice
基元，Basis
第三讲
晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
4
4) (Li
四方晶系：四方四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影 一般形
4/m
4PC) (L
四方晶系：四方双锥晶类
y
x
极射赤面（平）投影 一般形
mmm
23PC) (3L
正交晶系：正交双锥晶类
≠ 90o
点阵，Lattice
基元 Basis
Rectangular, a ≠ b = 90o
Square, a = b
= 90o
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
Rectangular, a ≠ b
= 90o
斜方 长方 有心长方
[010]
(120)
a’≠ b’, = 90o
[110]
[120]
(010) b a (110) (100)
a ≠ b, ≠ 90o
[100] (120)
a = b = c, = = = 90o
c
c a b c
a
b
c 结点直线族方向？
夹角？
a
b
a
b
[001] (010)
a = b = c, = = = 90o
[110]
a = b, = 90o
[100] (110) (100) [010] [120] [110] (120)
(010) b a
a ≠ b, = 90o
[100]
(110)
(100)
(120)
[010]
(010) b a
[120]
[110]
a = b, ≠ 90o
[100] (110) (100)
y
x
极射赤面（平）投影 一般形
23 (3L24L3)
立方晶系：五角三四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影 一般形
晶面角守恒定律： 在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体，其对应晶面之间的夹 角是守恒的。
P6

180o -
P1
a1
a6 a5 a3
P5
A
180o -
a2
B
PZT
P2