立体几何中的轨迹问题(经典压轴)

1．（经典关门压轴题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,在正方体表面上与点A 距

离是

3

的点形成一条曲线,这条曲线的长度是（ ）

A.

3

B. 2

C. D

.

6

2. 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是 （ B ）

3.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与二面角A A D B '''--所围成的几何体的体积为D

A.43π

B. 23

π

C. 6π D . 3

π

4. 如图,在长方形ABCD 中，

，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折

起,使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )

A

B

C ．2π

D ． 3

π 第1题图

C A

B

C D C.

A

B

C D A. A

B

C

D B. A

B

C

D D.

B '

C '

A '

D '

A C B

D

M

N

P

E

F

B

A

解：由题意，此问题的实质是以A

为球心，

3

为半径的球为半径的球 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

6

π

，A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为2π

5．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）在四面体ABCD 中，已知

1DA DB DC ===，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面

上与点A 则这条曲线的长度是（ D ）

（C

（D 设DB 上点E ，DC 上点F 到点A 距离是2√3/3

则DE=DF=√3/3，曲线是以D 为圆心，r=√3/3为半径的弧 圆心角EDF=90度，弧长为=2πr/4=√3*π/6

追问

答案是=√3*π/2 少算了几段弧长

回答

是的，这是在面DCB 上，

在面ACB 上，是以A 为圆心，r=2√3/3为半径的弧 ，圆心角BAC=60度，

弧长为=2πr/6=2√3*π/9

AE=2√3/3 DA=1, DE=√3/3, 角DAE=30度 角BAE=15度

在面DAB 上和DAC ，是以A 为圆心，r=2√3/3为半径的弧 ，圆心角BAE=15度，(两段) 弧长为=2*πr/12=√3*π/9

这条曲线长度是=√3*π/6 +2√3*π/9+√3*π/9 =√3*π/2

6．正方体ABCD-A 1B 1C 1 D 1中，M 为CC 1的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足∠DPD 1＝∠CPM ，则点P 的轨迹为

A.圆的一部分

B.椭圆的一部分 c 双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

7．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）非常容易错选A

A ．6π

B ．6

π或636π+

C ．366π-

D ．6

π或366π

-