平面与平面垂直的性质PPT课件

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内
的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个
平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此 垂线必垂直于另一个平面。
A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.
.
22
课后练习
3 .已知 a,b,平 ,且 a^ 面 ,a/b /. 求 : b证 ^ .
a ^b
l
a
l
^b.则
该
命
题
成?立
吗
al
b
O
.
5
分析问题：
如果平面a与平面b互相垂直，直线b在平 面a 内，那么直线 b 与平面b 的位置关系
有如下几种可能:
a
ba
b
a
b
b
b
b
.
6
如 ,已 图 :a知 ^ b,abl,b a,b^ l.
求:b证 ^ b.
证明 : 设直线b即AO交直线l于O点,
a^
同理
b
^
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l aa bb
n
m
b // a
aa ba
b a
b // a
b
b l
b // l
b^
l
^
a b l
.
13
常用结论
1.两个平面垂直，则过某个平面内一点 垂直于另一个平面的直线在该平面内.
2.垂直于同一平面的直线和平面平行.
aa
3.如果两个相交平面都垂直于另一个平面, 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
(1) 求证: 平面BAD⊥平面CAD; (2) 若CD＝2, 求C 到平面BAD的距离; (3) 求二面角A–BD–C的正切值.
(1) 证AB⊥平面ACD;
A
(2)在RT△ACD中求 2 15
斜边上的高CE
(3)tanq ＝2
5
B
E 30° M
C
N
.
D
18
练习 如图,四棱锥P－ABCD的底面是矩形， AB＝2，BC＝ 2 ，侧面PAB是等边三角形， 且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明：侧面PAB⊥侧面PBC； (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
a
A b
l
在平面b内过O作直线OB ^ l,
O
Q b ^ l,即AO ^ l,
bB
\ AOB为a与b所成的二面角的平面角
又 Q a ^ b，\AOB 900 ,
即b ^ OB, 且b ^ l,
Q l I OB O \ b ^ b .
.
7
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直.
.
11
证法1：设 a n ,b m ,
在 内任取一点A（不在 m,n上）,在 内过A点作直
b
线 a ⊥n，在 内过A点作
直线 b⊥m，
m
la
n
.A
a ^
a
a
^
n
n
l
a ^a
a
a^l
同
理b
^
l
l
^
a b A
.
12
证法2：设 a n ,b m ,
在a 内作直线a ⊥n
在b 内作直线b⊥m
.
9
思考2. 已 知 平 a^b面 ,且 直a 线 a,a^b. 则 直a与 线平a位 面置 关 系 ? 如
a
b
a
b
结论2:垂直于同一平面的直线和平面平行.
(a a )
.
10
思考3.已 知a平 ,b,面 ,且 b^,a^,b al, 则直 l与 线平 的 面位置关 ? 系如
l
a
b
m
n
a .b
结论3:如果两个相交平面都垂直于另一个平 面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
a
b
a
b
c
.
23
性质定理概念辩析
a
b
b
a^b
l
a
b
b a
l
b
^
b
b^l
a^b
b^l
a
b b
^
b a b
l
b
^
l( A)
a b ba b^b
l
a
^
b (B)
.
24
D A
线面垂直
C
B
线线垂直
.
16
证明： 过点A作AE⊥PB,垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC＝PB
∴AE⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC,
P
∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，
D
BC 平面PBC,
A
C ∴PA⊥BC.
故 BC⊥平面PAB B
.
17
例2.如图，将一副三角板拼成直二面角A–BC–D, 其中∠BAC＝90°, AB＝AC , ∠BCD＝90° , ∠CBD＝30°,
ab
l
b
a^ b aIb＝l
ba
b^l
b^b
作用: 面面垂直 线面垂直
.
8
思考1. 设 平a面 ^平 面 b， 点 P在 平a面 内,
过 点 P作 平b面 的 垂a， 线直a与 线
平 面 a且 有 什 么 关a 系a ？
a
a
a. P
a
b
b .P
结论1：两个平面垂直，则过某个平面内 一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.
.
14
练习
1.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A，B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC,
(1)求证: BC⊥平面PAC;
P
(2)判断平面PBC与平面PAC 是否垂直,并证明.
C
A
.
B
O
.
15
例1.如图,已知 PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC, 求证：BC⊥平面PAB.
P
面面垂直
平面与平面垂直的性质
.
1
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
ab
符号语言:
a
a b
^ ^
a a
a //
b
简 记: 作 用: 关 键:
线面垂直 线线平行
“垂直”变“平行”
寻找平面a
.
2
常用结论
1.两平行直线，其中一条垂直于一个平 面，则另一条直线也垂直于这个平面.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
ab
a
l
a
b
.
3
温故知新:
1.面面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2.面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直.
al
b
O
l l
^
b
a
a
^
b
作用：
线面垂直
.
面面垂直
4
提出问题：
如果将 ll ^aba ^b中的条l件 ^b 与结论 a ^b的位置调换一下新 ，命 构题 造 :
P
A
D
E
B
C
.
19
课堂小结
1.平面与平面垂直的性质定理：
ab
l b
面面垂直
a^b
a
b
b a
l
b^
b ^ l线面垂直
b
2.面面垂直的性质推论：
a
P
a b
a
b
a
l aa
bb
b
c
n m
aa
a//a .
l ^ 20
作业
高效学习作业本P110.
.
21
2.已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有_B_个