复变函数的极限和连续性
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考题： 1、如何理解两个复数z1与z2乘积与商的辐角形式？ 2、函数、映射和变换是否为同一个概念？
注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
二、 复变函数的连续性
1、定义—(1)
f
( z0 )存在 ；(2)
lim
z z0
f ( z)存在 ；
(3)两值相等 ，即 lim z z0
f (z)
f (z0 )
2、存在判别法-- 转化为实函数的连续性
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
张 长 华
A u0 iv0 , z0 x0 iy0 , 则
lim
z z0
f
(z)
A
lim
x x0
u(x,
y)
u0
,
lim
x x0
v( x,
y)
v0
y y0
y y0
3、四则运算法则 类似一元实函数的极限
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
(见教材P16 定理1.4.1 ) 设 f (z) u(x, y) iv(x, y),
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.4 复变函数的极限和连续性
一、 复变函数的极限
1、 定义
形式 与一元实函数的极限一致,记 lim f (z) A
z z0
理解 与二元(多元)实函数的极限一致(几何描述),
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、举例
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
重点 复数代数形式、三角式及指数式的互化；
确定原象在映射下的象(或象曲线方程)。
张 长 华
复变函数与积分变换
Coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱplex Analysis and Integral Transform
注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
二、 复变函数的连续性
1、定义—(1)
f
( z0 )存在 ；(2)
lim
z z0
f ( z)存在 ；
(3)两值相等 ，即 lim z z0
f (z)
f (z0 )
2、存在判别法-- 转化为实函数的连续性
f (z)在z0点连续 实、虚部函数 u(x, y) 、v(x, y) 均在点(x0 , y0 )处连续。
张 长 华
A u0 iv0 , z0 x0 iy0 , 则
lim
z z0
f
(z)
A
lim
x x0
u(x,
y)
u0
,
lim
x x0
v( x,
y)
v0
y y0
y y0
3、四则运算法则 类似一元实函数的极限
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
z z0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法 转化为实函数极限存在性判别
(见教材P16 定理1.4.1 ) 设 f (z) u(x, y) iv(x, y),
对负实轴上任一点z0
当z沿平行于y轴正向趋于z0时,zlimz0 arg(z)
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§ 1.4 复变函数的极限和连续性
一、 复变函数的极限
1、 定义
形式 与一元实函数的极限一致,记 lim f (z) A
z z0
理解 与二元(多元)实函数的极限一致(几何描述),
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
3、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材P17Th 1.4.4
4、有界闭区域 D上连续函数的最大小模存在定理。
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、举例
例１（见教材P20T16）试证 arg(z)在原点和负实轴上不连续。
证明 arg(0)无意义 ,w arg(z)在z 0点不连续 ；
本章难点与重点
难点复复杂杂函函数数的的极几限何概描念述————理映解射。；
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
重点 复数代数形式、三角式及指数式的互化；
确定原象在映射下的象(或象曲线方程)。
张 长 华
复变函数与积分变换
Coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱplex Analysis and Integral Transform