机器视觉应用实例第二章讲解

2.1 几何变换的不变量
上节所讲的空间几何变换中，某些几何特性在变换前后具有不变化的特性， 这样的特性或特征量称为不变特性或不变量。不变量广泛用于计算机视觉 中的特征点的提取及模式识别等，在计算机视觉中起着重要作用。
2.2.1 简比（simple ratio)与交比(cross ratio)
如图，直线L上三个点A、B、C，以A、B为基础点， 点C为分点（该点C为内分点或外分点），由分点与基 础点所确定的两个有向线段之比称为简比，记为
三维仿射空间，仿射变换矩阵可以表示为： 用其次坐标，上式可重新写成ρy=TAx，其中仿射变换矩阵TA可以表示为：
仿射变换有12个自由度。
2.1.4 比例变换（metric transformation)
比例变换是带有一比例因子的欧氏变换。比例变换不改变物体空间的形状，只是 改变大小，所以有时将比例变换称为相似变换。 在三维比例空间中其变换形式可表示为：
以关上系两，个于中是心我射们影就变称换由的有积限就次表中示心了射影L1到变L换同3之的样间积，的定L变义2上换的的点列A',B',C',D'又可以通过 两条直线间的一一对应变换为一维射影变换以。另一点O'为中心的一维中心射影变换
为L3上的点列A'',B'',C'',D''。
n维射影空间的射影变换可以用代数式表示为ρy=TPx，其中，ρ为一比例因子，x与 y分别为变换前后空间店的齐次坐标，x=(x1,x2,...,xn+1)T，y=(y1,y2,...,yn+1)T,TP为满秩 的（n+1)×(n+1)矩阵。摄影变换由TP矩阵决定，矩阵TP有（n+1)2个参数，但TP与 kTP表示同一变换（因等式两边都是齐次坐标），故TP的独立参数为（n+1)2－1。 以一维射影变换为例写出上述变换：
第二章 空间几何变换与摄像机模型
2.1 空间几何变换 2.2 几何变换的不变量 2.3 欧式空间的刚体变换 2.4 摄像机透视投影模型 2.5 摄像机透视投影近似模型
空间几何变换与计算机视觉有着密切的关系，是计 算机视觉的重要数学工具之一！
2.1 空间几何变换
空间几何变换描述的是空间几何从一种状态按照一定的原则 转换到另一种状态
由该式得：
由以上两式相除，并取 y y1 y2 ，x x1 x2，得到变换前后点的非齐次坐标的关系
射影变换中用非齐次坐标表示的 关系是非线性的。
如右图所示,在三维射影空间，射影变换矩阵Tp可以表示为：
式中，Tp为4×4可逆矩阵，它有16个参数，但可 以用一个非零的比例因子归一，因此有15个自由 度。
2.1.1 齐次坐标
齐次坐标：所谓齐次坐标就是用n+1维矢量表示一个n维矢量。n维空间中点的位 置矢量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分（P1,P2,...,Pn)，且是唯一的。若 用齐次坐标表示时，此矢量有n+1个坐标矢量（hP1,hP2,...,hPn,h)，且不是唯 一。
例：若二维点（x,y）的齐次坐标表示为（hx,hy,h）,则 （h1x,h1y,h1)，(h2x,h2y,h2)，...，（hmx,hmy,hm)都表示二维 空间中同一点（x,y)的齐次坐标。
为什么要使用齐次坐标？
齐次坐标的优越性有以下两点：
1、提供了用矩阵运算二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系 换到另一个坐标系的有效方法。
2、可以表示无穷远点。
例：n+1维中，h=0的齐次坐标实际上表示了一 个n维的无穷远点。
2.1.2 射影变换（projective transformation)
rij组成了一个正交矩阵。 它是一旋转矩阵，该旋转
矩阵有3个自由度。 用齐次坐标，上式可重新写成ρy=TMx，其中比例变换矩阵TM可以表示为：
δ是比例因子，称为缩放因 子。
比例变换有7个自由度，其中3个旋转，3个平移和1个比例因子。
2.1.5 欧氏变换（Euclidean transformation)
2.1.3 仿射变换（affine transformation)
仿射变换是射影变换的特例，在射影变换中，当射影中心平面变为无限远处时， 射影变换就变成了仿射变换。如图所示： 同样，以一维仿射变换为例写出上述变换
由上式得：
将以上两式相除得到变化前后点的非齐次坐标关系： 可以看出用非齐次坐标表示的射影 变换为非线性变换，而仿射变换为 线性变换。
SR(A,B;C)= AC BC
一条直线上四个点中的两个简比的比值称为交比，如图 直线L上的四个点A、B、C、D的交比为：
CR(A,B;C,D)= SR( A, B;C) AC AD SR( A, B; D) BC BD
对于上图中，线束O中任意4条直线的交比称为线束交比CR(l1,l2;l3,l4),既有：
欧氏变换是在欧式空间进行的变换，与比例变换很类似，只是比例因子取为1。 欧氏变换代表了在欧式空间中的刚体运动或刚体变换。 在三维欧式空间其变换形式为：
rij组成了一个正交矩阵。 它是一旋转矩阵，该旋转
矩阵有3个自由度。 用齐次坐标，上式可重新写成ρy=TEx，其中欧氏变换矩阵TE可以表示为：
欧氏变换有6个自由度，其中3个旋转，3个平移。
射影变换是一个最为广义的线性变换
一维射影变换如右图所示：过O点的直线束分别交直线L1 与L2于A,B,C,D和A',B',C',D'。对于L1上的任意一点，例如， 点A，总可以在L2上找到与其对应的点A'，A'为OA射线 与L2的交点。当OA与L2平行时，则定义OA与 L2的交点A'为L2上的无穷远点。 实际上这种几何关系给出了L1与L2之间的一个一一对应 的变换，称之为一维中心射影变换。
sin (l1,l3) sin (l1,l4) CR(l1,l2;l3,l4)= sin (l2,l3) sin (l2,l4)
2.2.2 不变量
下面给出各种几何变换的一些基本且重要的不变形和不变量，在此不做证 明。
射影变换不变量和不变性如下：
1、同素性（几何元素点、线、面等变换后仍保持原先的种类）和接合性是射 影不变换性质； 2、保持直线上点列的交比不变； 3、保持线束的交比不变； 4、如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截，则截点列的交Hale Waihona Puke Baidu和线束的 交比相等； 5、点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换的充分必要条件，且共线 四点交比具有如下特性：（如前页图所示）