高考数学总复习 第七章 解析几何 第3讲 圆的方程课件 理

则yxmax＝tan60°＝ 3，xymin＝tan120°＝－ 3.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切
设圆心P(－2a，a)，半径为R， 则R＝|PA|＝ －2a－22＋a－32. 又弦长2 2＝2 R2－d2，d＝|－2a－2a＋1|， ∴R2＝2＋3a－2 12，4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋3a－2 12. ∴a＝－7或a＝－3. 当a＝－7时，R＝ 244；当a＝－3时，R＝ 52. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋ 7)2＝244.
方法二：从数的角度，选用一般式．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为－D2 ，－E2， 52＋22＋5D＋2E＋F＝0，
∴32＋22＋3D＋2E＋F＝0， 2×－D2 －－E2－3＝0，
D＝－8， 解得E＝－10，
F＝31.
∴圆的方程是x2＋y2－8x－10y＋31＝0. 方法三：从形的角度． AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB的中垂线 x＝4上，则由2x＝x－4y，－3＝0， 得xy＝＝45，， 即圆心P(4,5)． ∴半径r＝|PA|＝ 10. ∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10. (2)设点A关于直线x＋2y＝0的对称点为A′， ∵AA′为圆的弦， ∴A与A′的对称轴x＋2y＝0过圆心．
第 3 讲 圆的方程
1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程．
1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．确 定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为_(a_，__b_)_，半 径为r的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程 为______x_2＋__y_2_＝__r_2____． 3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为 x＋D2 2＋ y＋E2 2＝ D2＋E42－4F.故有：
【规律方法】1 确定一个圆的方程，需要三个独立条 件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题 设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因 此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都 要列出系数的三个独立方程.
2研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思 想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要 数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
5 2
，故圆的方程为(x－2)2＋
y＋32
2
＝245.
考点 2 与圆有关的最值问题
例2：已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)yຫໍສະໝຸດ Baidux的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)方法一：如图D24，方程x2＋y2－
4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为
3．若直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，
则 b＝( D )
A．3
B．5
C．－3
D．－5
4．以点(2，－1)为圆心，且与直线 x＋y＝6 相切的圆的方 程是_(_x_－__2_)_2＋__(_y_＋__1_)_2＝__2_25__．
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝ 0 上的圆的方程．
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A )
A．x2＋(y－4)2＝25
B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25
D．(x＋4)2＋y2＝25
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( D )
A．(2,3) C．(－2，－3)
B．(－2,3) D．(2，－3)
【互动探究】 1．(2013 年江西)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是__(_x－__2_)_2_＋__y_＋__32__2＝__2_45___．
解析：设圆心为(2，－r＋1)，圆的方程为(x－2)2＋(y＋r－
1)2＝r2，将(0,0)代入，得r＝
圆心，以 3为半径的圆．
图D24
设
y x
＝k，即y＝kx，由圆心(2,0)到y＝kx的距离为半径时直
线与圆相切，斜率取得最大或最小值．
由|2kk2－＋01|＝ 3，解得k2＝3，k＝± 3.
∴yxmax＝ 3，xymin＝－ 3.
方法二：由平面几何知识，有OC＝2，PC＝ 3 ，∠POC
＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°，
(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在这个 圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2 2,求圆的方程．
解：(1)方法一：从数的角度，选用标准式． 设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.
又2x0－y0－3＝0，两方程联立，得xy00＝ ＝45， . ∴|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
5．两圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R，r，圆心距为 d. 两圆相外离⇔d>R＋r⇔公切线条数为 4 条； 两圆相外切⇔d＝R＋r⇔公切线条数为 3 条； 两圆相交⇔R－r<d<R＋r⇔公切线条数为____2____条； 两圆内切⇔d＝R－r⇔公切线条数为 1 条； 两圆内含⇔d<R－r⇔无公切线．
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以 －D2 ，－E2 为圆心， 以 D2＋2E2－4F为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2 ，－E2； (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
4．点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系 点M在圆内⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0； 点M在圆上⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0； 点M在圆外⇔x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F___>_____0.