股价的几何布朗运动证明
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[2 ] 程仕宏. 高等概率论[M] . 北京 :高等教育出版社 ,2000. [ 3 ] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are
discontinuous[J ] . Journal of Economics ,1976 , (3) :1252144. [ 4 ] Aase K K. Contingent claims valuation when the security price is a
关 键 词 :股票价格 ;布朗运动 ; Ito 方程 中图分类号 :O 211. 62 文献标识码 :A 文章编号 :100627140 (2005) 0120086203
A Proof of Geometric Bro wn Motion Displayed by Stock Prices
收稿日期 :2004211201 作者简介 :谢惠扬 (19632) ,女 ,江苏无锡人 ,北京林业大学教授 ,硕士研究生 ,主要从事基础数学的研究.
第 20 卷第 1 期
谢惠扬等 :股票价格服从几何布朗运动的证明
87
1 布朗运动 (Brown motion) 可由随机 游动逼近
股票价格服从几何布朗运动的证明
谢惠扬1 , 陈怀军2 , 毕秋香2
(1. 北京林业大学 基础学院 ,北京 100083 ;2. 安徽师范大学 数学系 ;安徽 芜湖 241000)
摘 要 :通过由一般的离散过程逼近连续随机过程的方法 ,给予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一
个严格的证明 ,并指出了股票价格过程的一般模型.
标准差 , wt 是标准布朗运动.
在一般文献中 ,没有更多解释证券价格为何按
几何布朗运动变化 ,而只是根据一种直观判断 ,认为 该模型较好地描述了风险资产的价格变化规律.
现假设理性投资者要求来自证券的期望收益率 与证券价格无关 ,且交易连续不断地进行 ,在这些理 想市场前提下 ,本文对这一问题进行微观的研究 ,给 予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一个 严格的证明.
1 2
σ2)Δt
+ εσk
Δt +Δt 的高阶项
因此
log SiΔt = log S0 + i (μ -
1 2
σ2)Δt
+
i
∑ σ Δτt εk +Δt 的高阶项.
(7)
k =1
对任意 0 < t < T ,当Δt →0 时 ,可取 iΔt →t ,
则上式右边第 2 项趋于 (μ -
1 σ2) 2
1) Merton 跳跃扩散模型.
dSt St
=
(μ -
λk) d t
+ σd wt
+ dq,
(9)
其中 μ为股票的预期收益 ,λ为跳跃发生的频率 ,
k 为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比率 , 则
λk 表示由跳跃带来的平均增长率 ,d q 表示参数为的
泊松点过程 , d wt 与 d q 相互独立.
3 股票价格过程的一般模型
对于股票价格行为 ,人们通常假设其服从上述 几何布朗运动模型 ,即股票价格都是连续变动的 ,但 现实市场股价变动并非如此 ,一些重大的信息到达 会使股票价格发生不连续的变动 , 即跳跃. 为此 Merton (1976) [3] 建立了股票价格遵循跳跃扩散过程
的模型 ,在股票价格几何布朗运动之上加了各种跳 跃 ,Aase (1988) [4] 建立了 Ito 过程和随机点过程的混 合模型 ,Scott (1997) 建立了具有随机波动率和利率 的跳跃扩散模型等. 一般地 ,有下列两类随机模型来 描述股票价格的变化.
布朗运动是 [ 0 , T ] 上的随机过程 ( wt , t ≥0) , 它有如下特征 :
① w0 = 0 , ② Ewt = 0 ,对任意 t ≥0 , ③ wt 有独立增量 ,即当 0 ≤ r < s < t ≤ T 时 , wt - ws 与 ws - wr 独立 ,且 wt - ws ～ N (0 , t - s) .
k
∑ wt + s - wt =
( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) ,
(2)
i =1
k
∑ 故 E ( wt +s - wt) =
E ( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) =
i =1
0 , 又因 wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt , i = 1 , …, k 独立同分布 ,
① w0 = 0 ,
②当时间区间Δt 充分小时 ,令Δwt ～ε Δt ,
其中ε为取值 ±1 的随机变量 ,且 P (Δwt = Δt ) = P (Δwt = -
Δt )
=
1 2
.
2 股票价格过程
1) 简单离散模型. 对于风险证券股票 , 假设理性投资者要求来自 证券的期望收益率 μ与证券价格无关 , 在弱式有效 市场假设下 ,首先考虑离散化的模型 , 设在 n 时刻 , 其价格为 S n ,则其收益率可认为由期望收益率加一 随机项组成 ,不失一般性 ,且该随机项可以用简单随 机游动表达 ,即可以写成
Sn - Sn- 1 Sn- 1
= μ + ηn ,1
≤n
≤N ,
(4)
其中 S0 > 0 ,μ > 0 ,ηn 是一随机游动 ,满足条件 P (η0 = δ) = p , P (ηn = - δ) = 1 - p ,
1 ≤ n ≤ N , 0 < δ < 1 + μ, 0 < p < 1 ,
这样 S1 取 2 个值 , SN 取 2N 个值.
)
d
t
=
(3)
现取Δx = Δt ,而 k = [ s/Δt ] ,因此 (3) 式为
∫ lim
Δt →0
P
(
wt + s
-
wt
≤ x)
=
x -∞
1 2πs
exp
(
-
t2 2s
)
d
t
,
即 wt +s - wt 服从 N (0 , s) ,此即布朗运动. 于是 ( wt , t ≥0) 可用如下的随机游动近似 :
第 20 卷第 1 期 2005年2月
长沙电力学院学报 (自然科学版) J O U R NAL O F C HA N GS HA UN IV ER S I T YO F EL E C T R I C POW ER ( NA TURAL SCIENCE)
Vol . 20 No. 1 Feb. 2 0 0 5
88
长 沙 电 力 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2005 年 2 月
μΔt +εσk
Δt -
1 2
(μΔt
+ εσk
Δt) 2 +
Δt 的高阶项 =
μΔt +εσk
Δt -
1 2
(μ2Δt2
+
2μεσk Δt +ε2σk 2Δt) +Δt 的高阶项 =
(μ -
S iΔt = S ( i - 1)Δt (1 +Δμ + ηiΔt) , 1 ≤ i ≤ N .
由式 (4) 可设 ηiΔt 为随机游动 ,满足条件 :
P (ηiΔt = Δδ)
=
1 2
, P (ηiΔt
= - Δδ)
=
1 2
,
1 ≤ i ≤ N ,0 < Δδ < 1 +Δμ.
若假设理性投资者要求来自证券的期望收益率μ与
在现代金融投资理论中 ,通常假设股票的价格
服从几何布朗运动 ,著名的 Black2Scholes 期权定价
公式 ,也是以此假设为基础 ,即假设股票在 t 时刻的
价格 St 满足下列随机微分方程[1]
d S t = μS td t + σS td wt ,
(1)
其中 μ为该股票的预期收益率 σ, 为股票收益率的
故
E( wt+s - wt) 2 =
k
∑E ( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) 2 = k (Δx) 2 .
i =1
由中心极限定理
x
∫ lim
Δt →0
P
(
wt +
Δx
s-
·
wt k
≤ x)
s
=
s -∞
12πexp ( -
∫x -∞
1 2πs
exp
(
-
t2 2s
)
d
t
,
t2 2wk.baidu.com
2) 一般的混合过程.
混合过程由 ITO 过程和泊松点过程两部分组
成. 即
dSt St
= μ( t ,ω) d t
+ σ( t ,ω) d wt +
∫r ( t , y) q (d t , d y) , R
其中 μ,σ, r均为可测过程 , q (d t ,d y) 为随机点测度.
参考文献 :
[1 ] 约翰 ,赫尔. 期权 、期货和衍生证券. 张陶伟译[M] . 北京 :华夏出 版社 ,1997.
i
∏ 票价格过程为 : SiΔt = S0 (1 + μΔt + σ Δεt k) , k =1
1 ≤ i ≤ N . 两边取对数 ,得
i
∑ log SiΔt = logS0 + log (1 + μΔt + σ Δεt k) ,
k =1
1 ≤i ≤N.
(6)
用 Taylor 级数展开
log (1 + μΔt +εσk Δt ) =
证券价格无关 , 则可取Δμ = μΔt ,Δδ = σ Δt ,
σ > 0 , 因 此 ηiΔt 可 写 成 :ηiΔt = σ Δεt i , 其 中
P (εi = 1)
=
1 2
, P (εi
=-
1)
=
1 2
,且
EηiΔt
= 0,
DηiΔt =σ2Δt ,这样 σ2 即为股票收益的方差 ; 因此股
XIE Hui2yang1 , CHEN Huai2jun2 , BI Qiu2xiang3
(1. Beijing Forestry University ,Beijing 100083 ,China ;2. Mathematic Department of Anhui Normal University ,Wuhu 241000 ,China)
2) 由离散时间模型逼近连续时间模型.
现考虑时间区间 (0 , T) ,对充分短的时间 Δt ,取
N = [ T/Δt ] ,股票价格可写为
S iΔt - S ( i - 1)Δt S ( i - 1)Δt
= 1 +Δμ + ηiΔt ,
1 ≤i ≤N ,
(5)
其中 S0 > 0 ,Δμ > 0 为短期收益率 ,ηiΔt 为随机 项 ,即
t
, 由中心极限定
i
∑ 理 , 第 3 项 Δt εk 依分布收敛于 N (0 , t) 即 wt ,上
k =1
式中的Δt 高阶项趋于零 ,因此有
St = S0exp ( (μ -
1 σ2) 2
t
+ σwt)
.
(8)
利用 Ito 公式 ,即得 St 满足下列随机微分方程 d S t = μS td t + σS td wt .
ε Δt ,其中 ε～ N (0 ,1) , 在相当多的文献中都有 这样的记法[2 ] .
因Δwt 是对称随机变量 , 可考虑如下形式的简 单随机游动 ,即考虑一粒子分别向左或向右移动一 个距离Δx ,即 :
P (Δwt = Δx)
=
P (Δwt = - Δx)
=
1 2
,
则 EΔwt = 0 , DΔwt = (Δx) 2 对任意的 s > 0 , t > 0 ,取 k = [ s/Εt ] ,于是
combination of a ITO processes and a random point processes[J ] . Stochastic processes and Applications ,1988 , (28) :1852220.
布朗运动是一连续随机过程 , 它可看成一粒子 在直线上运动 ,在时刻 t 的位置记为 wt ,而随机游动 是一离散分布 ,下面证明布朗运动可由随机游动逼 近. 从任意时间 t 出发 , 对充分小的间隔 Δt , 记 Δwt = wt +Δt - wt ,Δwt 仍是随机变量 , 根据已知条 件 ③,则有Δwt ～ N (0 ,Δt) ,即可近似地记为Δwt ～
Abstract :In this paper ,the authors give a strict proof of geometric Brown motion displayed by stock prices using the methods of approximation from discrete process to continuous stochastic process. The general model for stock prices is also expressed. Key words :stock prices ; Brown motion ; Ito equation
discontinuous[J ] . Journal of Economics ,1976 , (3) :1252144. [ 4 ] Aase K K. Contingent claims valuation when the security price is a
关 键 词 :股票价格 ;布朗运动 ; Ito 方程 中图分类号 :O 211. 62 文献标识码 :A 文章编号 :100627140 (2005) 0120086203
A Proof of Geometric Bro wn Motion Displayed by Stock Prices
收稿日期 :2004211201 作者简介 :谢惠扬 (19632) ,女 ,江苏无锡人 ,北京林业大学教授 ,硕士研究生 ,主要从事基础数学的研究.
第 20 卷第 1 期
谢惠扬等 :股票价格服从几何布朗运动的证明
87
1 布朗运动 (Brown motion) 可由随机 游动逼近
股票价格服从几何布朗运动的证明
谢惠扬1 , 陈怀军2 , 毕秋香2
(1. 北京林业大学 基础学院 ,北京 100083 ;2. 安徽师范大学 数学系 ;安徽 芜湖 241000)
摘 要 :通过由一般的离散过程逼近连续随机过程的方法 ,给予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一
个严格的证明 ,并指出了股票价格过程的一般模型.
标准差 , wt 是标准布朗运动.
在一般文献中 ,没有更多解释证券价格为何按
几何布朗运动变化 ,而只是根据一种直观判断 ,认为 该模型较好地描述了风险资产的价格变化规律.
现假设理性投资者要求来自证券的期望收益率 与证券价格无关 ,且交易连续不断地进行 ,在这些理 想市场前提下 ,本文对这一问题进行微观的研究 ,给 予证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的一个 严格的证明.
1 2
σ2)Δt
+ εσk
Δt +Δt 的高阶项
因此
log SiΔt = log S0 + i (μ -
1 2
σ2)Δt
+
i
∑ σ Δτt εk +Δt 的高阶项.
(7)
k =1
对任意 0 < t < T ,当Δt →0 时 ,可取 iΔt →t ,
则上式右边第 2 项趋于 (μ -
1 σ2) 2
1) Merton 跳跃扩散模型.
dSt St
=
(μ -
λk) d t
+ σd wt
+ dq,
(9)
其中 μ为股票的预期收益 ,λ为跳跃发生的频率 ,
k 为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比率 , 则
λk 表示由跳跃带来的平均增长率 ,d q 表示参数为的
泊松点过程 , d wt 与 d q 相互独立.
3 股票价格过程的一般模型
对于股票价格行为 ,人们通常假设其服从上述 几何布朗运动模型 ,即股票价格都是连续变动的 ,但 现实市场股价变动并非如此 ,一些重大的信息到达 会使股票价格发生不连续的变动 , 即跳跃. 为此 Merton (1976) [3] 建立了股票价格遵循跳跃扩散过程
的模型 ,在股票价格几何布朗运动之上加了各种跳 跃 ,Aase (1988) [4] 建立了 Ito 过程和随机点过程的混 合模型 ,Scott (1997) 建立了具有随机波动率和利率 的跳跃扩散模型等. 一般地 ,有下列两类随机模型来 描述股票价格的变化.
布朗运动是 [ 0 , T ] 上的随机过程 ( wt , t ≥0) , 它有如下特征 :
① w0 = 0 , ② Ewt = 0 ,对任意 t ≥0 , ③ wt 有独立增量 ,即当 0 ≤ r < s < t ≤ T 时 , wt - ws 与 ws - wr 独立 ,且 wt - ws ～ N (0 , t - s) .
k
∑ wt + s - wt =
( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) ,
(2)
i =1
k
∑ 故 E ( wt +s - wt) =
E ( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) =
i =1
0 , 又因 wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt , i = 1 , …, k 独立同分布 ,
① w0 = 0 ,
②当时间区间Δt 充分小时 ,令Δwt ～ε Δt ,
其中ε为取值 ±1 的随机变量 ,且 P (Δwt = Δt ) = P (Δwt = -
Δt )
=
1 2
.
2 股票价格过程
1) 简单离散模型. 对于风险证券股票 , 假设理性投资者要求来自 证券的期望收益率 μ与证券价格无关 , 在弱式有效 市场假设下 ,首先考虑离散化的模型 , 设在 n 时刻 , 其价格为 S n ,则其收益率可认为由期望收益率加一 随机项组成 ,不失一般性 ,且该随机项可以用简单随 机游动表达 ,即可以写成
Sn - Sn- 1 Sn- 1
= μ + ηn ,1
≤n
≤N ,
(4)
其中 S0 > 0 ,μ > 0 ,ηn 是一随机游动 ,满足条件 P (η0 = δ) = p , P (ηn = - δ) = 1 - p ,
1 ≤ n ≤ N , 0 < δ < 1 + μ, 0 < p < 1 ,
这样 S1 取 2 个值 , SN 取 2N 个值.
)
d
t
=
(3)
现取Δx = Δt ,而 k = [ s/Δt ] ,因此 (3) 式为
∫ lim
Δt →0
P
(
wt + s
-
wt
≤ x)
=
x -∞
1 2πs
exp
(
-
t2 2s
)
d
t
,
即 wt +s - wt 服从 N (0 , s) ,此即布朗运动. 于是 ( wt , t ≥0) 可用如下的随机游动近似 :
第 20 卷第 1 期 2005年2月
长沙电力学院学报 (自然科学版) J O U R NAL O F C HA N GS HA UN IV ER S I T YO F EL E C T R I C POW ER ( NA TURAL SCIENCE)
Vol . 20 No. 1 Feb. 2 0 0 5
88
长 沙 电 力 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2005 年 2 月
μΔt +εσk
Δt -
1 2
(μΔt
+ εσk
Δt) 2 +
Δt 的高阶项 =
μΔt +εσk
Δt -
1 2
(μ2Δt2
+
2μεσk Δt +ε2σk 2Δt) +Δt 的高阶项 =
(μ -
S iΔt = S ( i - 1)Δt (1 +Δμ + ηiΔt) , 1 ≤ i ≤ N .
由式 (4) 可设 ηiΔt 为随机游动 ,满足条件 :
P (ηiΔt = Δδ)
=
1 2
, P (ηiΔt
= - Δδ)
=
1 2
,
1 ≤ i ≤ N ,0 < Δδ < 1 +Δμ.
若假设理性投资者要求来自证券的期望收益率μ与
在现代金融投资理论中 ,通常假设股票的价格
服从几何布朗运动 ,著名的 Black2Scholes 期权定价
公式 ,也是以此假设为基础 ,即假设股票在 t 时刻的
价格 St 满足下列随机微分方程[1]
d S t = μS td t + σS td wt ,
(1)
其中 μ为该股票的预期收益率 σ, 为股票收益率的
故
E( wt+s - wt) 2 =
k
∑E ( wt + iΔt - wt + ( i - 1)Δt) 2 = k (Δx) 2 .
i =1
由中心极限定理
x
∫ lim
Δt →0
P
(
wt +
Δx
s-
·
wt k
≤ x)
s
=
s -∞
12πexp ( -
∫x -∞
1 2πs
exp
(
-
t2 2s
)
d
t
,
t2 2wk.baidu.com
2) 一般的混合过程.
混合过程由 ITO 过程和泊松点过程两部分组
成. 即
dSt St
= μ( t ,ω) d t
+ σ( t ,ω) d wt +
∫r ( t , y) q (d t , d y) , R
其中 μ,σ, r均为可测过程 , q (d t ,d y) 为随机点测度.
参考文献 :
[1 ] 约翰 ,赫尔. 期权 、期货和衍生证券. 张陶伟译[M] . 北京 :华夏出 版社 ,1997.
i
∏ 票价格过程为 : SiΔt = S0 (1 + μΔt + σ Δεt k) , k =1
1 ≤ i ≤ N . 两边取对数 ,得
i
∑ log SiΔt = logS0 + log (1 + μΔt + σ Δεt k) ,
k =1
1 ≤i ≤N.
(6)
用 Taylor 级数展开
log (1 + μΔt +εσk Δt ) =
证券价格无关 , 则可取Δμ = μΔt ,Δδ = σ Δt ,
σ > 0 , 因 此 ηiΔt 可 写 成 :ηiΔt = σ Δεt i , 其 中
P (εi = 1)
=
1 2
, P (εi
=-
1)
=
1 2
,且
EηiΔt
= 0,
DηiΔt =σ2Δt ,这样 σ2 即为股票收益的方差 ; 因此股
XIE Hui2yang1 , CHEN Huai2jun2 , BI Qiu2xiang3
(1. Beijing Forestry University ,Beijing 100083 ,China ;2. Mathematic Department of Anhui Normal University ,Wuhu 241000 ,China)
2) 由离散时间模型逼近连续时间模型.
现考虑时间区间 (0 , T) ,对充分短的时间 Δt ,取
N = [ T/Δt ] ,股票价格可写为
S iΔt - S ( i - 1)Δt S ( i - 1)Δt
= 1 +Δμ + ηiΔt ,
1 ≤i ≤N ,
(5)
其中 S0 > 0 ,Δμ > 0 为短期收益率 ,ηiΔt 为随机 项 ,即
t
, 由中心极限定
i
∑ 理 , 第 3 项 Δt εk 依分布收敛于 N (0 , t) 即 wt ,上
k =1
式中的Δt 高阶项趋于零 ,因此有
St = S0exp ( (μ -
1 σ2) 2
t
+ σwt)
.
(8)
利用 Ito 公式 ,即得 St 满足下列随机微分方程 d S t = μS td t + σS td wt .
ε Δt ,其中 ε～ N (0 ,1) , 在相当多的文献中都有 这样的记法[2 ] .
因Δwt 是对称随机变量 , 可考虑如下形式的简 单随机游动 ,即考虑一粒子分别向左或向右移动一 个距离Δx ,即 :
P (Δwt = Δx)
=
P (Δwt = - Δx)
=
1 2
,
则 EΔwt = 0 , DΔwt = (Δx) 2 对任意的 s > 0 , t > 0 ,取 k = [ s/Εt ] ,于是
combination of a ITO processes and a random point processes[J ] . Stochastic processes and Applications ,1988 , (28) :1852220.
布朗运动是一连续随机过程 , 它可看成一粒子 在直线上运动 ,在时刻 t 的位置记为 wt ,而随机游动 是一离散分布 ,下面证明布朗运动可由随机游动逼 近. 从任意时间 t 出发 , 对充分小的间隔 Δt , 记 Δwt = wt +Δt - wt ,Δwt 仍是随机变量 , 根据已知条 件 ③,则有Δwt ～ N (0 ,Δt) ,即可近似地记为Δwt ～
Abstract :In this paper ,the authors give a strict proof of geometric Brown motion displayed by stock prices using the methods of approximation from discrete process to continuous stochastic process. The general model for stock prices is also expressed. Key words :stock prices ; Brown motion ; Ito equation