线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分

2.1.3 零输入响应和零状态响应
线性非时变系统的完全响应也可分解为零 输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为 零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应， 用yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为 零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号 所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时 变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应 之和，即
由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征 方程为
λn+a n-1λn-1+…+a1λ+a0=0
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，
即 有 λ1=λ2=λ3=…=λγ ， 而 其 余 (n-γ) 个 根
y(t)=yx(t)+yf(t)
在零输入条件下，式(2―7)等式右端均为
零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则
其零输入响应
n
yx (t)
c xi e i t
i 1
式中cxi为待定常数。
若系统的初始储能为零，亦即初始状态为
零，这时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征
bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特 解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的 特解用yp(t)表示。即有
y(t)=yh(t)+yp(t)
1.
齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
R2
gdi1(t) dt
1 LC
i1
(t)
R1
d
2iS (t) dt 2
R1R2 L
gdiS (t) dt
(1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与 动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。
(2)输出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)， 还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。
iL
(t))
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R1(
diS (t) dt
diL (t ) dt
)
L
d
2iL (t) dt 2
R2
diL (t ) dt
整理上式后，可得
d 2iL (t) dt 2
R1
L
R2
gdiL (t ) dt
1 LC
iL (t )
R1 L
diS (t) dt
1 LC
iS (t)
d
2i1 (t) dt 2
R1
L
激励函数及所对应的解
3.
根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之
和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分
方程的全解为
n
y(t) cieit yp (t)
i 1
当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个
根均为单根时，方程的全解为
n
y(t)
cit 1eit
cie jt y p (t)
i 1
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmtm1eat cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmtm1eat sin dt
2.特解
特解的函数形式与激励函数的形式有关。 下表列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应 的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微 分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。
(2)电感L，
uL (t )
L
diL (t) dt
, iL
iL (t0 )
1 L
t t0
uL( )d
(3)电容C，
iC
(t)
C
duC (t) dt
,
uC
(t)
uC
(t0
)
1 C
t t0
iC ( )d
(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电
2. 结构约束KCL与KVL
下面举例说明。
λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的
齐次解
n
yh (t)
cit iejt
i 1
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则 微分方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4) 特 征 根 有 一 对 m 重 复 根 。 即 共 有 m 重 λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解
例2―1 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试
列出电流iL(t)及R1
u1(t) 为输出响应变量的
方程式。
L
iC(t) iL(t)
iS(t)
＋
R1 u1(t)
R2
－
解 由KVL，列出电压方程
uC (t) u1(t) uL (t) R2iL (t)
L
diL (t) dt
R2iL (t)
第二章 连续系统的时域分析
➢ 线性连续系统的描述及其响应 ➢ 冲激响应和阶跃响应 ➢ 卷积积分
2.1 线性连续系统的描述及其响 应
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线
性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模 型的基本依据有如下两方面。
1. 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；
对上式求导，考虑到
iC
(t)
C
duC (t) dt
R1iC (t) u1(t)
1 R1C
u1(t)
di1(t) dt
L
di2L (t) dt 2
R2
diL (t) dt
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而
u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
1 C
(iS
(t)
这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时， 它的自由频率是唯一的。
2.1.2 微分方程的经典解
我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性 非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的 激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可 写为
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1，…，a1，a0和bm，
j 1
如果微分方程的特征根都是单根，则方程的 完全解为上式，将给定的初始条件分别代入到式 上及其各阶导数，可得方程组
y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0) … y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)