均值不等式练习题及答案

均值不等式练习题及答案
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件。

a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22
2. 若a,b?R，则
时取“=”）*a?b?ab
2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*
a?ba2?b2
?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2
时等号成立。

平均数）
一、基本技巧
技巧1：凑项
例已知x?
技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。

x?5 x2?7x?10的值域。

例求y?x?1
技巧3：利用函数单调性
例
求函数y?2的值域。

技巧4：整体代换
例已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。

xy
典型例题
1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是
?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd
是
A.0
B.1
C.
D.
23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab
A.1
B.
C.4
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .
6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34
ab11?的最小值为ab
1A B C 1 D 7. 设a?0,b?
0.3与3的等比中项，则
8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65
9. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．
①ab?1；
②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；
⑤11??ab
210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b1234
11.下列命题中正确的是
12A、y?x?的最小值是B
、y?的最小值是x
C、y?2?3x?4
x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小
均值不等式应用
一．均值不等式
1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab
2. 若a,b?R*，则
a?b2
?
*
?
a?b2
22
a?b时取“=”）
ab 若a,b?R，则a?b?2
2
ab
a?b?若a,b?R，则ab??）?? ?
2
a?b2
注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域
y＝3x解：y＝3x＋
11
y＝x＋xx
1
3x ＝∴值域为[，+∞）
2x
1
x· ＝2；x
1
x· =－2
x
1
≥22x1
当x＞0时，y＝x＋≥x
11
当x＜0时，y＝x＋= －≤－2
xx
∴值域为
解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?
54
，求函数y
?4x?2?
14x?5
的最大值。

1
解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?
54
,?5?4x?0，?y?4x?2?
1
4x?5
不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，
???2?3?1 ??3?
1?
???5?4x?
4x?55?4x?
当且仅当5?4x?
15?4x
，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数
例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当
，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变
式：设0?x?
，求函数y?4x的最大值。

3
2
2x?3?2x?9
解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????
222??
当且仅当2x?3?2x,即x?
3
?3?
??0,?时等号成立。

?2?
技巧三：分离
例3. 求y?
的值域。

x?1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。

x?7x?10
2
当
,即
时
,y?5?9。

技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y?
?7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

?B，
g
当,即t=时
,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?
2
ax
的单调性。

例：求函数y?的值域。

解：令
?t，则y?
1t
2
??t?
1t
因t?0,t??1，但t?因为y?t?
1t
解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。

52
在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?
?5
??。

所以，所求函数的值域为?,???。

?2
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y?
x?3x?1
x
2
, y?2x?
1x?3
,x? y?2sinx?
23
1sinx
2．已知0?x?
1，求函数y?条件求最值
的最大值.；3．0?x?
，求函数y?.
1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23
a
b
a?b
?6
当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．
变式：若log4x?log4y?2，求
1x
?
1y
的最小值.并求x,y的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

：已知
x?0,y?0，且
1x?
1x
9y
9y
?1，求x?y的最小值。

?1?x
9?
??
x?y??y?
错解：?x?0,y?0，且．．
?
?1，?x?y??
?
?1 故
?x?y?min
9y
?1。

错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x?
y，在1
x
??条件是
1x
?
9y
即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：?x?0,y?0,
1x?9
?19?y9x
?10?6?10?1?1，?x?y??x?y??????
xyxyy??
当且仅当
yx
?
9xy
时，上式等号成立，又
?
1x
?
9y
?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。

1y
变式：若x,y?R且2x?y?1，求1
x
?
的最小值
?
已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值
xy
y2
技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y 的最大值.
2
a＋b
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

2
2
2
1
＋y 中y前面的系数为，＋y ＝x
2
2
2
1＋y2· ＝x·
21y ＋22
下面将x，
1y
分别看成两个因式：2
x＋2x＋2223
＝＝即＋y ＝·x
224
2
1y3
＋≤ 24
1
的最小值. ab
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－b＋30b
法一：a＝，ab ·b＝
b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15
－2t＋34t－311616
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2＋34∵t＋≥2
ttt
1
∴ ab≤1∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

18
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2ab∴0－ab≥ab令u＝ab则u2＋u－30≤0，－5≤u≤3
1
∴ ≤3，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式
a?b2
?
ab的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等
?
t·
16
＝t
式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等式
a?b2
?
ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.
?
变式：1.已知a>0，b>0，ab－＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧
九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝x ＋y 的最值.
a＋ba＋b
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
22
3x ＋y
22y ）＝x＋2y ＝25
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2x y ＝10＋2x y ≤
10＋
2·＝10＋＝20
∴ W≤20 ＝
2
变式:
求函数y
?
12?x?
52
)的最大值。

解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。

y
?2
?4??4???8
32
2
又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x?
时取等号。

故ymax?
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a
2
?b?c
22
?ab?bc?ca
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：≥8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。

求证：?
?1
??1??1?
?1???1???1???a??b??c?
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，
又
1a?1?
1?aa
?b?ca
?a
1a
1?aa
b?ca
a
解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。

?1???。

同理
1b
?1?
b
，?1?
c
1c。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1?1??1??1?a?b?c?。

当且仅当时取等号。

?1?1?1??8??????
3abcabc??????
应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x?0,y?0且
1x?9y
?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。

解：令x?y?k,x?0,y?0,
10k
3k
1x
9y
?1，?
x?ykx
?
9x?9yky
?1.?
10k
?
ykx
?
9xky
?1
?1??2?。

?k?1，m????,16?
应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a?b?1,P?
lga?lgb,Q?
12
,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0
Q?
12
且a≠b，下列各式中最大的是
Ａ．a+bＢ．２abＣ．2abＤ．a+b2
2．x∈R，下列不等式恒成立的是
A．x+1≥xB．21224x x2?1
3．已知x+3y-1=0，则关于2x?8y的说法正确的是
Ａ．有最大值Ｂ．有最小值22Ｃ．有最小值Ｄ．有最大值22
4．Ａ设实数x，y，m，n满足x+y=1，m+n=3那么mx+ny的最大值是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是
Ａ．≥ Ｂ．a3+b3≥2ab2abＣ．a+b+2≥2a+2bＤ．6．下列结论正确的是
A．当x>0且x≠1时，lgx+a?b?a?b 11≥B．当x>0时，x+≥lgxx
C．当x≥2时，x＋11 ≥2D．当0 7．若a、b、c>0且a+bc=4?2，则2a+b+c的最小值为
A．?1 B．3?1C．23?D．2?2
二．填空题：
8．设x>0，则函数y=2－4－x的最大值为；此时x 的值是。

x
9．若x>1，则log2x＋logx2的最小值为；此时x的值是。

x2?x?410．函数y=在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________．x?1
x2
11．函数f=4的最大值是；此时的x值为_______________．x?2
三．解答题：
12．函数y=loga－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求11?mn的最小值为。

13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？
14．已知x,y∈且xy＝－1，求s=
312的最小值。

?223?x12?y
参考答案：
一．选择题：
2222221．D解析：只需比较a+b与a+b。

由于a、b∈，∴a 2．B
3．B解析：2?8＝2?2xyx3y?222x3y?2x?3y
2＝22
4。

A解法一：设x=sinα，y=cosα，m=sinβ，n=cosβ，
其中α，β∈∈其他略。

解法二、m+n=3?2?2＝1∴2＝x2+y2＋2?≥2
3∴mx+ny≤。

5．B解析：
A、C由均值不等式易知成立；D中，若a 6．B 解析：
A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。

故选B。

7．D
22222解析：=4a++4ab+4ac+2bc≥4a+2bc+4ab+4ac+2bc
=4=4[a+bc]=4＝4当且仅当b=c时等号成立。

∴最小值22
为23?2。

二．填空题：
8．－2，2
9．2，2
x2?x?444?1≥5，当且仅当x=3时等号成立。

10 。

解析：y=＝x?＝?x?1x?1x?1
112x2
??11。

解析：f=4＝，此时x＝2。

x?2x2?222
x2
三．解答题：
12．解析：∵y=logax恒过定点，∴y=loga－1恒过定点，∴-2m-n+1=0，即2m＋n＝1，∴1111n4m?＝＝2＋2＋?≥8，∴最小值为8。

mnmnmn
13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则y?
x=20时等号成立。

最小值为160。

001600?4?4x?2?4x ＝160，当且仅当xx
14．解析：s=312?3?x212?y2≥236＝1222912?y)1≥2237?12
137?236?12。

评注：两次等号成立的条件都一样。