1.1.1正弦定理课件(PPT)

定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45,求A。
(3)已知a 20,b 28, A 1200,解这个三角形.
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.

AD c
, sin C

AD b
B
所以AD=csinB=bsinC, 即
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
(3)b=26, c=15, C=30o 无解
(4)a=2,b=6,A=30o
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝( )
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( )
A、
3
B、
6
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
a (两解）
A
B
a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解）
b
a
A
B
a>b(一解）
若A为锐角时:
a b sin A
无解
a b sin A
一解直角
b sin A a b 二解一锐、一钝
a sin C 2sin 45 c sin A sin 30 2 2
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45,求A。
(3)已知a 20,b 28, A 1200,解这个三角形.
a
20
7 3 1 10
本 题 无 解.
已知两边和其中一边 的对角，试讨论三角形 的解的情况
已知a、b、A，作三角形
探索发现
已知两边和其中一边对角解斜三角形
C ba
C ba
C b aa
C ba
A
A
B
a<bsinA a=bsinA 无解 一解
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
a≥b
一解
作三角形
归纳总结： 已知两边和其中一边对角解斜三角形
有两解或一解或无解三种情况
C
C
C
C
b ab a
b aa b
a
A
A
B A B2 B1 A
B
a<bsinA a=bsinA
≥ bsinA<a<b a b
无解 一解
两解
一解
一解
一解
无解
两解
bsinA
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证 明 ： 过 点A作 单 位 向 量j垂 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
C

，

j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
AC CB AB
4 3
（2） 已 知c 10, A 45,C 30,求b, SABC .
解 ： b c , sin B sinC
B 180 ( A C ) 180 (45 30) 105,
b

c sin B sinC

10 s in105 sin 30
此时也有
sin B

AD c
且
sin（
C）
AD b

sinC
仿(2)可得 a b c
sin A sin B sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
正弦定理:
abc sin A sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105
∵
bc sin B sinC
2
2 2 1
a
2
B 900 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
a
sinC sinC' c 2R A
O
C
b
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B bsin A 2
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
C
750 或150 c

a sinC

4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
(2)已 知a 2 3, b 2 2, B 45,求A.
解：sin A a sin B 2 3 sin45 3
b
22
2
a b, A C(大边对大角)
A 60或120
(3)已知a 20,b 28, A 120o,解这个三角形.
解：Q sin B b sin A 28 sin120
同 理,过C点 作j垂 直 于CB， 可 得 c b ,在 锐 角 三 角 形 中
sinC sinB 也有 a b c sin A sinB sinC
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的 夹 角 为 A 90
B
j与CB的 夹 角 为 90 C
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60,求a, 和A，C;
解： b c , sin B sinC
sinC c sin B 1 sin60 1
b
3
2
b c, B 60,C B,C为锐角， C 30，A 90
a c2 b2 2
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
ab c
＝
＝
＝ 2R
Hale Waihona Puke Baidu
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明： 作外接圆O,
B
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
C、 或 2 D、 或 5
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:aa

b b
无解
一解锐角
判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o
判断满足下列的三角形的个数:两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解
两边同取与j的数量积, 得
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（ 根 据 向 量 的 数 量 积 的定 义 ）
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sinC c sin A a c sin A sinC

5(
6
2)
SABC

1 bc sin A 2
1 5( 6 2
2 )10sin45
25( 3 1)
(3)已 知A 30, B C 60, a 2,求c.
解 : A 30, B C 60 B C 150 C 45 又 a c , sin A sin C
5 b csin B 10sin105
sin C
sin 30
65
2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120, 求a; (2)已知c 10, A 45,C 30, 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120, 求a; (2)已知c 10, A 45,C 30, 求b, SABC .
（2）三角： A B C 180
B
（3）边角： 大边对大角
A
c
b
a
C
课前检测
在 RtDABC 中， ? A 300,? C 900, a =10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
问题1：在 DABC 中，设 BC = a, AC = b, AB = c,
证明：
a =b = c
sin A sin B sin C
1. 在一个直角三角形ABC中
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C

b
c 1
c c
b sin B c
c
c
sin C
A c
b
Ca
B
abc sin A sin B sin C
2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有
sin B
sin A sin B
sin B bsin A 2
2
2 2 1
a
4
2
B 300 或1500 (舍去)
C 1050 c
a sinC 4
6 4
sin A
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
(1)已知b 12, A 300, B 120,求a;
解：(1) a b , sin A sin B
a

b sin A sin B

12sin 300 sin 1200
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B bsin A 2