最优控制理论2
最优控制理论课件
8
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
22.03.2020
现代控制理论
24
最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
22.03.2020
现代控制理论
50
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
22.03.2020
现代控制理论
51
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
泛函的增量 J ( x ( g ) ) J ( x ( g ) x ) J ( x ( g ) ) L ( x , x ) r ( x , x )
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
控制
(t)
22.03.2020
现代控制理论
最优控制理论
f ( x(t ), u (t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解令 Nhomakorabea
H L( x, u, t ) f ( x, u, t )
T
哈密顿函数
性能指标
J L( x, u, t )dt
t0
T
令
H ( x, , u , t ) (t ) x
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大 的发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理 论的研究等等；在生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析 等实际生活中广泛应用 。
解决最优控制问题的方法
一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数学 方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。 在许多实际控制问题中，控制函 数的取值常常受到封闭性的边界 限制，如方向舵只能在两个极限 值范围内转动，电动机的力矩只 能在正负的最大值范围内产生等。 因此，古典变分法对于解决许多 重要的实际最优控制问题，是无 能为力的。
t [0, t f ]
这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必 须有
A r (t )
t [0, t f ]
假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设 b>0是单位时间储存单位商品的费用，于是， 单位时间的总成本为：
f x(t ), u(t ), t h u(t ) bx(t )
二、极大值原理
是分析力学中哈密顿方法的推广。 极大值原理的突出优点是可用于控 制变量受限制的情况，能给出问题 中最优控制所必须满足的条件。
第二部分最优控制理论习题答案
x c1 , x c1t c2 (通解形式)
由边界条件
x(0) c2 1 c1 1 , 解之，得 x(1) c1 c2 2 c2 1
*
故最优轨线为 x (t ) t 1
2-2、求一阶系统 x(t ) u(t ), x(0) 1，当性能指标为 J
构造哈密顿函数： H x1 u12 u2 2 1 u1 2 ( x1 u2 ) 最优轨线 x1* (t ) t , x2* (t ) 0.5t 2 0.5t 最优控制 u1* 1 , u2* 0.5
2-8、 设二阶系统状态方程为 x1 x1 u,
x2 (1) ，
1
故
H H 1 2 , 2 0， x1 x2
1 1 2 11 c1et c2 Nhomakorabea c2
由横截条件
1 (1)
0, 2 (1) 1 x1 (1) x2 (1)
那么 所以
代入边界条件
x(0) 1 (c1 c2 1)
,
(1) 0
(c1e c2e 0)
1
, [终端横截条件 t f
] x(t f )
得 c1 0.12, c2 0.88
最优轨线 x* (t ) 0.12et 0.88et 最优控制 u* (t ) 0.12et 0.88et
-1
最优轨线是齐次方程 x x 的解
x(t ) [ A BR1BT K ]x(t )
由 x(0) 1 ，解得： x (t ) e
* t
所以： u (t ) e
最优控制课程课件II-5.HJB方程
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
4 / 67
回顾：Bellman 方程 回顾：Bellman 方程
离散时间最优控制问题
问题 1 (离散时间最优控制问题)
13 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
4/4 HJB 方程必要性-取极限
两边同除 ∆t，取 ∆t → 0，即可得对于 t ∈ [t0, tf ] 都有 HJB 方程
∂V −
(x(t),
t)
=
min{g(x(t),
u(t),
t)
+
∂V [
(x(t),
t)]T f (x(t),
u(t),
t)}
∂t
u(t)
∂x
令 t = tf ，得到边界条件
V (x(tf ), tf ) = h(x(tf ), tf ).
(11)
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
10 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
1/4 HJB 方程必要性-最优性原理
将性能指标分成 [t, t + ∆t] 和 [t + ∆t, tf ] 两段
最优控制
J =
能观,
1 1 x ( t f ) T C T Q 0 Cx ( t f ) + 2 2
tf
[ x T C T Q 1 Cx + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
二次型指标最优控制问题
线性系统
二次型性能指标
x = Ax + Bu y = Cx
tf
J =
1 T x (t f )Q 0 x (t f ) + 2
1 二次型性能泛函
1 1 T J = x (t f ) Q 0 x (t f ) + 2 2
半正定
tf
[ x T Q 1 x + u T Q 2 u ] dt ∫
t0
半正定
正定
误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, qij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的.
0 x = 1
1 x a + 2
1
y=x1
1 w( s ) = C ( sI A) B = 2 s + s a + 2 +1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
x (t ) = A (t ) x (t ) + B (t )u (t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ), x ( t 0 ) = x 0
q1 , q 2 > 0 , q 0 ≥ 0
u * ( t ) = Q 2 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) = q 2 1 p ( t ) x ( t )
最优控制理论在经济学的理论
最优控制理论在经济学的理论
1最优控制理论
最优控制理论是指实现指定结果的最佳控制技术，它具有实现理想状态和控制系统性能的能力。
它有助于经济学家解决了许多经济问题，根据它的原则，决策者可以尽可能地解决经济问题，以利益最大化。
它可以帮助经济学家确定最合理的经济活动，以期获得最大的经济利益。
2最优控制理论的特点
最优控制理论的主要特点是它可以用于有效的设计和管理控制系统。
它利用定量数据，帮助经济学家找出最佳的决策，以达到最有利的预期收益。
它非常有助于改善企业的决策过程，以达到可持续发展的目标。
最优控制理论认为，企业可以有效地控制经济活动的结果，确保经济活动的有效性和可持续性。
3最优控制理论在经济学中的应用
在经济学中，最优控制理论可以帮助经济学家设计有效的决策模型，以期解决价格、财政和金融政策等问题。
它可以用于估计市场状态，分析市场走势，并模拟多种市场变化及其影响。
它还可以用于物流系统、预算分析、计算机网络设计、制造过程控制、财务管理，以及工业系统优化设计等方面的研究。
4结论
从上述内容可以看出，最优控制理论在经济学中发挥着重要作用，可以帮助经济学家解决诸多经济问题，以及优化企业决策过程。
它可以帮助企业管理者实时评估发展状况，以确保经济决策的有效性。
此外，它还可以帮助经济学家正确分析市场状况，从而更加有效地管理市场风险。
因此，最优控制理论在经济学中具有重要意义，可以大大提高经济发展的效率。
最优控制理论与系统第三版教学设计 (2)
最优控制理论与系统第三版教学设计课程简介本课程是介绍最优控制理论与系统的基础知识，主要包括状态空间法、优化控制、最优化方法、动态规划等方面的内容。
前置知识•线性代数•微积分学•控制理论基础•Matlab编程基础教学目标•掌握最优控制基本知识和方法；•理解状态空间模型和其在控制系统中的应用；•熟悉优化方法，如最小二乘、线性规划、非线性规划等；•掌握动态规划的基本概念和应用。
教材《最优控制理论与系统第三版》韩子昂，陈锡文著教学内容第一章引言•课程简介•教材介绍第二章状态空间法•模型描述–动态系统与状态方程–状态变量与状态空间•基本概念–可观性与可控性–稳定性判据第三章优化控制•范畴与概念•线性二次型调节器–离散时间系统–连续时间系统•数字计算算法第四章最优化方法•最小二乘问题•线性规划问题•非线性规划问题第五章动态规划•基本概念•离散时间动态规划–最优子结构–递推式的建立–递推法解决离散时间动态规划问题•连续时间动态规划第六章总结与测试•课程总结•测试与准备教学方法•课堂讲授：通过理论讲解，引导学生了解控制原理，在讲解过程中会有举例和计算操练。
•组织讨论：通过设计控制问题，组织学生进行讨论并解决实际问题。
•课外作业：课堂讲授之后，要求学生完成作业，加深对理论知识的理解和掌握。
考核方式•课堂测试：考察学生掌握情况，包括课堂讲解内容和作业题目。
•期末考试：考查学生对整个课程的掌握程度，考试形式为书面考试和机试。
参考文献•韩子昂，陈锡文. 最优控制理论与系统第三版[M]. 科学出版社, 2016.•余志豪. 最优控制理论与应用[M]. 北京大学出版社, 2002.•Bryson, A. E., & Ho, Y. C. (1975). Applied optimal control: optimization, estimation, and control[M]. CRC press.。
最优控制_2
u (t ) 为p维控制向量,在[t0,tf] 上分段连续
f ( x (t ), u (t ), t ) 为n维连续向量函数, 对x和t连续可微
⎡ f1(x(t),u(t),t)⎤ ⎡ f1(x1(t), x2 (t)Lxn (t),u1(t),u2 (t)Lup (t),t)⎤ ⎢ f (x(t),u(t),t)⎥ ⎢ f (x (t), x (t)Lx (t),u (t),u (t)Lu (t),t)⎥ 2 n 1 2 p ⎥ ⎥=⎢ 2 1 &(t) = f (x(t),u(t),t) = ⎢ 2 x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f x t x t L x t u t u t L u t t ( ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ) f x t u t t ( ( ), ( ), ) ⎥ 2 n 1 2 p ⎣ n ⎦ ⎢ ⎣ n 1 ⎦
无条件约束的泛函极值问题中的边界条件和横截条件列表(表10-1) x(t0)固定 x(tf)固定 x(t0)自由 x(tf)固定 tf固定 x(t0)固定 x(tf)自由 x(t0)自由 x(tf)自由 x(t0)固定 x(tf)自由 tf自由 x(t0)固定 x(tf)约束
x (t 0 ) = x 0
∂L ∂x d − dt ∂L & ∂x
=0
T t0
T ( ∂∂L ) & x t
f
L δx(t f ) − ( ∂ &) ∂x
δx(t0 ) = 0
& , λ , t ) = g ( x, x &, t ) + λT f ( x, x &, t ) L ( x, x
λ (t ) ∈ R n 称为拉格朗日乘子
控制系统的最优控制理论与方法
控制系统的最优控制理论与方法在控制系统中，最优控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过优化控制策略，使系统性能达到最佳状态。
本文将介绍最优控制理论的基本概念、主要方法以及在实际应用中的一些案例。
一、最优控制理论的基本概念最优控制理论是一种应用数学理论，研究如何确定控制系统中的最优控制策略，以使系统性能指标达到最佳。
最优控制理论的核心是优化问题的解决方法，通过最小化或最大化某种性能指标，如系统响应时间、稳定性、能耗等，来获取最优控制策略。
在最优控制理论中，有两个基本概念需要了解：动态系统和性能指标。
动态系统是指由一组动态方程描述的系统，其中包含控制变量和状态变量。
性能指标是衡量系统性能的指标，根据不同的要求可以选择不同的性能指标，如最小化过程中的能耗、最大化系统的稳定性等。
二、最优控制方法最优控制方法主要包括动态规划、最优化方法和参数整定等。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 动态规划动态规划是最优控制理论中最基本的方法之一。
它通过将控制问题划分为若干子问题，并逐步求解每个子问题的最优解，最终得到整体的最优控制策略。
动态规划方法适用于动态系统模型已知、状态空间离散化的情况。
2. 最优化方法最优化方法是一种通过优化目标函数求解最优解的方法。
其中，目标函数可以是系统的性能指标，通过最小化或最大化目标函数来确定最优控制策略。
最优化方法适用于动态系统模型复杂、状态空间连续的情况。
3. 参数整定参数整定是指根据系统的数学模型和性能指标，确定控制器的参数值，以实现最优控制。
参数整定方法可以根据系统的特性和要求选择不同的方法，例如经验公式、频域分析、优化算法等。
参数整定在工程实践中具有重要的应用价值，可以使系统在不同工况下都能达到最佳性能。
三、最优控制理论与方法的应用案例最优控制理论与方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个案例来说明。
1. 自动驾驶汽车自动驾驶汽车是近年来亟待解决的重要问题之一。
最优控制理论与方法可以应用于自动驾驶汽车的路径规划和控制中，通过优化控制方法确定最佳行驶路径和速度，从而提高驾驶安全性和行驶效率。
最优控制理论_第二章
为正定矩阵 为正定矩阵。
二：有约束条件的函数极值问题 设 元函数f（x1,x2），x1和x2必须满足下列方程： 设二元函数 必须满足 列方程 g（x1,x2）＝0 为求函数f（x1,x2）的极值，并找出其极值点（x1*,x2*），作一辅助函 数 拉格朗日函数： 数－拉格朗日函数：
L( x1 , x 2 , ) f ( x1 , x 2 ) g ( x1 , x 2 )
0
t0
不同函数F的欧拉方程为：
F [ x (t ), t ]
F 0 x
2F 0 x 2 x
(t )] F[ x
(t ), t ] F[ x
2F 2F 0 x 2 xt x
2F 2 F F x 0 2 x t x x
* * ( x1 , x2 )
正定
其中
f
* x1 x1
2 f ( x1 , x2 )
2 x1
f
f
* x1 x 2
* x2 x2
2 f ( x1 , x 2 ) * * x1x 2 ( x1 , x2 )
2 f ( x1 , x 2 )
2 x 2 * * ( x1 , x2 )
X(t)
(t )
tf t0
0
X1(t) X2(t)
故边界条件为： x(t0)=x0, x(tf)=xf
t0
X3(t) tf t
(2)自由始端和自由终端
X(t)
F t0 x
0
F tf x
0
t0 tf t
（3）自由始端和固定终端
F t0 x
X(t)
0
x(tf)=xf
最优控制理论PPT课件-48页PPT精品文档
u t R p 为 控 制 向 量 ， 且 u t 在 t 0 , t f 上 分 段 连 续 ；
f R n 为 连 续 向 量 函 数 ， x t 连 续 可 微
2.初态和终态： xt0，xtf S目标集
3.容许控制 ： ut — 控 制 域
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 泛函变分的求法
控
制 理 论
定理： J x 的变 J J 分 x x | 0， (0 1 )
性质：1 .F 1 F 2 F 1 F 2
2 .F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 F 1
理 论
L x t,x r x t,x
其L 中 xt,x— J的线性函数
rxt,x— J的高阶无穷小
则L 称 xt,x为泛 Jxt函 的一阶变 J 分
泛函变分是泛函增量的线性主部
Modern Control Theory
Page: 9
2 1 2a1ta2
ua1ta2
这里 a1、a2 为常数
由 x2 udt 得： x2t1 2a1t2a2ta3
Modern Control Theory
Page: 21
§ 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题
现
代 控
由 x1 x2dt 得：x 1 t 1 6 a 1 t3 1 2 a 2 t2 a 3 t a 4
现
代 控
当 t0 和 tf给 定 时 ， x t0 和 x tf 是 否 定 还 是 自 由 ， 可 分 四 种
制 情 况 ：
理 论 (1) 固定始端和终端
x(t)
即 x t 0 和 x t f 给 定 x t 0 0 ,x t f 0
最优控制理论 第二章
x(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) 1
x(t 0 ) x0 2
t0 , t f
终端状态满足：
目标函数：
已知。
N [ x(t f ), t f ] 0 3
J [ x(t ), u (t ), t ]dt 4
J
tf t0
[
x(t )
x(t ) x x
*
x (t )
x (t )
x x*
]dt
泛函取极值的必要条件:
J 0
即：
tf
t0
[ x(t ) x(t )]dt 0 8 x(t ) x(t )
tf
t0
X
x(t )
tf t0
0 横截条件，又称为边界条件
3．横截条件的分析 <1> x(t0 ), x(t f )都固定，图a
x(t0 )
x(t )
许多状态轨线
求出最优
即 x* (t ) x(t ) 0 0
x (t f ) x(t f )
*
即 x(t 0 ) 0 x(t f ) 0 <2> x(t0 ) 固定, x(t f )自由 图 b
t1
F
证明见书。
< 定理2 > ：若可微泛函 J [ y( x)] 在 y0 ( x) 上达到极值， 则在 y y0 ( x)上的变分等于0，即 J 0 证明较简单，见书。
变分规则：<1 > ( F1 F2 ) F1 F2
< 2> ( F1 F2 ) F1F2 F2F1
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
![现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型](https://img.taocdn.com/s3/m/d65dd491fc4ffe473368abc0.png)
min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；
最优控制理论的基本概念和应用
最优控制理论的基本概念和应用最优控制理论是一种研究如何选择最佳控制策略的数学工具。
它可以用于优化飞行器导航、经济学、自动控制等领域。
最优控制理论的基本概念包括状态、控制、目标函数、约束等。
在这篇文章中，我们将讨论最优控制理论的基本概念和应用。
一、状态和控制在最优控制理论中，状态表示一个系统或过程的状态。
例如，飞行器的状态可以包括位置、速度、加速度等。
控制是指我们可以应用于系统来改变其状态的操作。
例如，飞行器的控制可以包括引擎推力、翼展角度等。
二、目标函数和约束目标函数是我们希望最小化或最大化的数量。
例如，对于飞行器导航问题，目标函数可以是飞行时间、燃料消耗、飞行距离等。
约束是指我们必须遵守的条件。
例如，飞行器需要保持在预定的高度范围内，避免撞击其他飞行器等。
三、动态系统动态系统是指随时间变化的系统。
例如，飞行器的位置和速度随着时间的推移而变化。
最优控制理论可以用于优化动态系统的行为，例如优化飞机导航路径以减少飞行时间或能耗。
四、应用案例最优控制理论已被广泛应用于各种领域。
例如，在经济学中，最优控制理论可以用来优化货币政策，以实现通货膨胀和就业之间的平衡。
在工业自动化中，最优控制理论可以用来优化生产过程，以实现更高的效率和质量。
在航空航天领域，最优控制理论可以用来优化飞行器的导航和控制，以实现更高的安全性和效率。
在交通领域，最优控制理论可以用来优化交通信号灯控制，以减少拥堵和排放。
总之，最优控制理论是一种非常有用的数学工具，可以用于优化各种复杂系统的行为。
它的应用范围非常广泛，从经济学到航空航天，再到工业自动化和交通领域等等。
尽管最优控制理论的应用有很大潜力和前景，但仍然需要更多的研究和发展，以实现更高的效率和精度。