熵权法+AHP
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将一个复杂的多方案决策问题作为一个系统， 将总目标分解为多准则的若干层次，通过定性 指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和 总排序，以作为多方案优化决策的系统方法
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估 计和预测、投入量的分配等问题
15
AHP应用步骤一
（一）建立层次结构模型
目标层
O(选择旅游地点)
2，4，6，8 上述两相邻判断的中值
倒数
因素i与j比较为bij，则因素j与i比较为bji=1/bij
19
AHP应用步骤三
（三）层次单排序及其一致性检验
1、计算权重，进行层次单排序
① 将判断矩阵每一列归一化：
w~ij aij / n aij
i=1
② 将归一化后的判断矩阵按行相加：
w~i
n
w~ij
指导老师：褚淑贞教授 汇 报 人：李伟霞 日 期：2014.3.24
目录
1 问题引入 2 熵权法基本原理 3 层次分析法(AHP)基本原理 4 熵权法与AHP的区别 5 熵权法+AHP应用实例
2
1 问题引入
南京、苏州、无锡、常州 镇江、泰州、宣城、湖州 8个城市的物流发展综合实力和竞争能力
谁更胜一筹？
21
AHP应用步骤三
2、判断矩阵的一致性检验
（1）一致性指标CI(consistency
index)：
CI
=
l n
-
n
1
（2）查找平均随机一致性指标RI（Random Index）：
阶数n 1 2 3 4
56
78
9 10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
1/6 1/4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw0.974
0.089
0.268
l
13(10..756897+
0.974+ 0.324
00..028698)
3.009
得到单排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, lmax=3.009
12
熵权法的适用范围
✓ 可用于任何评价问题 中的确定指标权重；
✓ 可用于剔除指标体系 中对评价结果贡献不 大的指标。
13
熵权法的实现过程
如何利用熵权法解决前面提到的问题？ 即如何得出8个城市的物流发展综合实力？
利用excel实现
14
3 层次分析法(AHP)基本原理
70年代初由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty） 提出（Analytical Hierarchy Process，简称AHP）
✓ 根据信息论的基本原理 , 信息是系统有序程度 的一个度量; 而熵是系统无序程度的一个度量
✓ 信息的增加意味着熵的减少；信息与熵成反比 ✓ 熵权法是一种客观赋权方法，可运用多个指标
对多个被评价对象进行评价
5
熵权法应用步骤一
（一）形成原始数据矩阵 现有被评价对象M=(M1，M2, … ，Mm)，评价指标D=(D1， D2，… Dn)，被评价对象 Mi对指标Dj的值记为Xij（i=1， 2，… ，m；j=1，2，… ，n），则形成的原始数据矩阵为：
b21
b22
b2m
…
…
判断B矩m 阵B=（bibj）m1有以下特征bm：2
bmm
bij＞0， bii=1， bji=1/ bij （i,j=1，…，m）
17
第二层判断矩阵：
选择旅 C1
C2
C3
C4
C5
游地点
C1
1
C2
1
C3
1
C4
1
C5
1
第三层判断矩阵：
C1 P1 P2 P3
C5 P1 P2 P3
P1 1
26
（四）计算第j项指标的熵值ej
m
ej 1 / ln（m） pij ln pij i 1
✓ 对于某一项指标Dj，其Vij的差异越大，ej越小； ✓ 即各被评价对象第j项指标值差异越大，表明该指标
反映的信息量越大，其熵值就越小； ✓ 而当熵值ej偏大时，表明该指标提供的信息量很小，
可以适当考虑将其剔除
9
熵权法应用步骤五
（五）计算第j项指标的差异系数dj
引入差异系数dj：
Dj=1-ej
Dj越大，该指标提供的信息量越大，越应给予 较大的指标权重
10
熵权法应用步骤六
（六）确定各指标的熵权
n
w j dj
dj
j 1
11
熵权法应用步骤七
（七）分别计算各个评价对象的综合评价值
n
vi wjpij j 1
j1
③ 将 归一化，
即为所求特征向wi量
w~i
/
n
w~i
,
w
(w1,
w2
,...,
wn
)T
i1
④
计算判断矩阵的最大特征根:
l
1 n
n i1
(
Aw) wi
i
20
AHP应用步骤三
层次单排序过程演示
1 A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545
1.760
0.364 按行求和 0.972
AHP
优点：
系统性的分析方法 简洁实用的决策方法 所需定量数据信息较少
•缺点：
缺点:
目前只在确定权重过程中使用， 不能为决策提供新方案
所以使用范围有限，解决问题 有限
定量数据较少，定性成分多， 不易令人信服
25
5 熵权法+AHP应用实例
如何同时利用熵权法 + AHP法来解决最初提出的问题？ 《基于层次分析法和熵权法的区域物流 发展竞争态势分析》 作者：李旭宏 李玉民 顾政华 杨文东
W W (k)W (k1) W (2)
2、层次的组合一致性检验
任意第p层的组合一致性比率为：
CI (P) [CI1(P) , ,CIn(P) ] w( p1)
RI (P)
[
RI
( 1
P)
,
RI n(P) ] w( p1)
CR( p) CI ( p) , p 3,4, , s RI ( p)
（3）一致性比率（consistency ratio）：
CR = CI RI
当CR < 0.1时，认为矩阵的一致性可以接受； 若CR ≥ 0.1，应该对判断矩阵作适当修正
22
AHP应用步骤四
（四）层次总排序及其一致性检验 1、层次总排序 若层次结构有k个层次，方案P在目标中的组合权重应为各层 相应项（除了第一层目标层）权重的乘积之和，最终计算得 到决策方案优先次序的组合权重:
x11 x12 x1n
X
其中，
x 21 x 22 x 2n 为x第mj个1 指标x下m 2的第i.个.被.评价x对m象n 的m值n
xij
6
熵权法应用步骤二
（二）对原始矩阵进行无量纲化处理
越大越优型指标：
xij - min(xj) Vij =
max(xj) - min(xj)
不难看出，经过 无量纲化处理后，
对准则层分别建 立5个比较矩阵 P1 1
P2
1
P2
1
P3
1
P3
1
18
判断矩阵元素bij的标度方法
标度
含义
1
表示两个因素相比，具有同样重要性
3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
3
建立物流综合实力评价指标体系
一级指标（6个）
二级指标（22个）
社会经济发展(B1) 生产、消费与流通(B2)
交通运输(B3) 人力资源(B4) 信息发展水平(B5) 政策与环境(B6)
GDP（C1） 人均GDP（C2） 城镇居民人均收入（C3） 农村居民人均收入（C4）
农业总产值（C5） 工业总产值（C6） 建筑业总产值（C7） 社会消费品零售总额（C8） 各类市场贸易成交额（C9） 进出口总额（C10） 全社会货运量（C11） 运输方式种数（C12） 公路密度（C13）
各类专业技术人员数量（C14） 专业技术人员比例（C15） 高校及中等专业学校在校人数（C16）
邮电业务总量（C17） 人均电话用户数（C18） 人均国际互联网用户数（C19）
国家级、省级开发区个数（C20） 现代物流发展氛围（C21） 地理区位（C22）
4
2 熵权法基本原理
✓ 1948年，克劳德·香农（ C.E.Shannon ）将熵 的概念引入信息论中，百度文库为信息的一个度量
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
16
P3 北戴河
AHP应用步骤二
（二）构造成对比较阵（判断矩阵）
判断矩阵表示针对上一层次某元素，本层次与它有关单元之 间相对重要性的比较。一级指标层的判断矩阵如下：
目标层A
B1
B2
…
Bm
…
B1
b11
b12
b1m
…
B2
0≤Vij≤1
越小越优型指标：
Vij =
max(xj) - xij max(xj) - min(xj)
7
熵权法应用步骤三
（三）计算第j项指标下，第i个评价对象的特征比重
记第j项指标下，第i个评价对象的特征比重为pij，则：
m
pij vij
vij
i 1
因为0≤Vij≤1，所以0≤Pij≤1
8
熵权法应用步骤四
23
AHP的实现过程 某位大学生同时获得了三家企业的offer，假如考虑工 作的研究课题、发展前景、待遇、同事情况、地理位 置、单位名气等六大因素，他该如何作出最优选择？
利用Yaaph软件实现
24
4 熵权法与AHP的区别
熵权法
•优点：
客观性（相对于主观赋值法） 适应性（用于任何确定权重的 过程，也可结合其他方法）
常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估 计和预测、投入量的分配等问题
15
AHP应用步骤一
（一）建立层次结构模型
目标层
O(选择旅游地点)
2，4，6，8 上述两相邻判断的中值
倒数
因素i与j比较为bij，则因素j与i比较为bji=1/bij
19
AHP应用步骤三
（三）层次单排序及其一致性检验
1、计算权重，进行层次单排序
① 将判断矩阵每一列归一化：
w~ij aij / n aij
i=1
② 将归一化后的判断矩阵按行相加：
w~i
n
w~ij
指导老师：褚淑贞教授 汇 报 人：李伟霞 日 期：2014.3.24
目录
1 问题引入 2 熵权法基本原理 3 层次分析法(AHP)基本原理 4 熵权法与AHP的区别 5 熵权法+AHP应用实例
2
1 问题引入
南京、苏州、无锡、常州 镇江、泰州、宣城、湖州 8个城市的物流发展综合实力和竞争能力
谁更胜一筹？
21
AHP应用步骤三
2、判断矩阵的一致性检验
（1）一致性指标CI(consistency
index)：
CI
=
l n
-
n
1
（2）查找平均随机一致性指标RI（Random Index）：
阶数n 1 2 3 4
56
78
9 10 11
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
1/6 1/4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw0.974
0.089
0.268
l
13(10..756897+
0.974+ 0.324
00..028698)
3.009
得到单排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, lmax=3.009
12
熵权法的适用范围
✓ 可用于任何评价问题 中的确定指标权重；
✓ 可用于剔除指标体系 中对评价结果贡献不 大的指标。
13
熵权法的实现过程
如何利用熵权法解决前面提到的问题？ 即如何得出8个城市的物流发展综合实力？
利用excel实现
14
3 层次分析法(AHP)基本原理
70年代初由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty） 提出（Analytical Hierarchy Process，简称AHP）
✓ 根据信息论的基本原理 , 信息是系统有序程度 的一个度量; 而熵是系统无序程度的一个度量
✓ 信息的增加意味着熵的减少；信息与熵成反比 ✓ 熵权法是一种客观赋权方法，可运用多个指标
对多个被评价对象进行评价
5
熵权法应用步骤一
（一）形成原始数据矩阵 现有被评价对象M=(M1，M2, … ，Mm)，评价指标D=(D1， D2，… Dn)，被评价对象 Mi对指标Dj的值记为Xij（i=1， 2，… ，m；j=1，2，… ，n），则形成的原始数据矩阵为：
b21
b22
b2m
…
…
判断B矩m 阵B=（bibj）m1有以下特征bm：2
bmm
bij＞0， bii=1， bji=1/ bij （i,j=1，…，m）
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第二层判断矩阵：
选择旅 C1
C2
C3
C4
C5
游地点
C1
1
C2
1
C3
1
C4
1
C5
1
第三层判断矩阵：
C1 P1 P2 P3
C5 P1 P2 P3
P1 1
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（四）计算第j项指标的熵值ej
m
ej 1 / ln（m） pij ln pij i 1
✓ 对于某一项指标Dj，其Vij的差异越大，ej越小； ✓ 即各被评价对象第j项指标值差异越大，表明该指标
反映的信息量越大，其熵值就越小； ✓ 而当熵值ej偏大时，表明该指标提供的信息量很小，
可以适当考虑将其剔除
9
熵权法应用步骤五
（五）计算第j项指标的差异系数dj
引入差异系数dj：
Dj=1-ej
Dj越大，该指标提供的信息量越大，越应给予 较大的指标权重
10
熵权法应用步骤六
（六）确定各指标的熵权
n
w j dj
dj
j 1
11
熵权法应用步骤七
（七）分别计算各个评价对象的综合评价值
n
vi wjpij j 1
j1
③ 将 归一化，
即为所求特征向wi量
w~i
/
n
w~i
,
w
(w1,
w2
,...,
wn
)T
i1
④
计算判断矩阵的最大特征根:
l
1 n
n i1
(
Aw) wi
i
20
AHP应用步骤三
层次单排序过程演示
1 A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545
1.760
0.364 按行求和 0.972
AHP
优点：
系统性的分析方法 简洁实用的决策方法 所需定量数据信息较少
•缺点：
缺点:
目前只在确定权重过程中使用， 不能为决策提供新方案
所以使用范围有限，解决问题 有限
定量数据较少，定性成分多， 不易令人信服
25
5 熵权法+AHP应用实例
如何同时利用熵权法 + AHP法来解决最初提出的问题？ 《基于层次分析法和熵权法的区域物流 发展竞争态势分析》 作者：李旭宏 李玉民 顾政华 杨文东
W W (k)W (k1) W (2)
2、层次的组合一致性检验
任意第p层的组合一致性比率为：
CI (P) [CI1(P) , ,CIn(P) ] w( p1)
RI (P)
[
RI
( 1
P)
,
RI n(P) ] w( p1)
CR( p) CI ( p) , p 3,4, , s RI ( p)
（3）一致性比率（consistency ratio）：
CR = CI RI
当CR < 0.1时，认为矩阵的一致性可以接受； 若CR ≥ 0.1，应该对判断矩阵作适当修正
22
AHP应用步骤四
（四）层次总排序及其一致性检验 1、层次总排序 若层次结构有k个层次，方案P在目标中的组合权重应为各层 相应项（除了第一层目标层）权重的乘积之和，最终计算得 到决策方案优先次序的组合权重:
x11 x12 x1n
X
其中，
x 21 x 22 x 2n 为x第mj个1 指标x下m 2的第i.个.被.评价x对m象n 的m值n
xij
6
熵权法应用步骤二
（二）对原始矩阵进行无量纲化处理
越大越优型指标：
xij - min(xj) Vij =
max(xj) - min(xj)
不难看出，经过 无量纲化处理后，
对准则层分别建 立5个比较矩阵 P1 1
P2
1
P2
1
P3
1
P3
1
18
判断矩阵元素bij的标度方法
标度
含义
1
表示两个因素相比，具有同样重要性
3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
3
建立物流综合实力评价指标体系
一级指标（6个）
二级指标（22个）
社会经济发展(B1) 生产、消费与流通(B2)
交通运输(B3) 人力资源(B4) 信息发展水平(B5) 政策与环境(B6)
GDP（C1） 人均GDP（C2） 城镇居民人均收入（C3） 农村居民人均收入（C4）
农业总产值（C5） 工业总产值（C6） 建筑业总产值（C7） 社会消费品零售总额（C8） 各类市场贸易成交额（C9） 进出口总额（C10） 全社会货运量（C11） 运输方式种数（C12） 公路密度（C13）
各类专业技术人员数量（C14） 专业技术人员比例（C15） 高校及中等专业学校在校人数（C16）
邮电业务总量（C17） 人均电话用户数（C18） 人均国际互联网用户数（C19）
国家级、省级开发区个数（C20） 现代物流发展氛围（C21） 地理区位（C22）
4
2 熵权法基本原理
✓ 1948年，克劳德·香农（ C.E.Shannon ）将熵 的概念引入信息论中，百度文库为信息的一个度量
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
16
P3 北戴河
AHP应用步骤二
（二）构造成对比较阵（判断矩阵）
判断矩阵表示针对上一层次某元素，本层次与它有关单元之 间相对重要性的比较。一级指标层的判断矩阵如下：
目标层A
B1
B2
…
Bm
…
B1
b11
b12
b1m
…
B2
0≤Vij≤1
越小越优型指标：
Vij =
max(xj) - xij max(xj) - min(xj)
7
熵权法应用步骤三
（三）计算第j项指标下，第i个评价对象的特征比重
记第j项指标下，第i个评价对象的特征比重为pij，则：
m
pij vij
vij
i 1
因为0≤Vij≤1，所以0≤Pij≤1
8
熵权法应用步骤四
23
AHP的实现过程 某位大学生同时获得了三家企业的offer，假如考虑工 作的研究课题、发展前景、待遇、同事情况、地理位 置、单位名气等六大因素，他该如何作出最优选择？
利用Yaaph软件实现
24
4 熵权法与AHP的区别
熵权法
•优点：
客观性（相对于主观赋值法） 适应性（用于任何确定权重的 过程，也可结合其他方法）