高中数学必修4三角函数的图像与性质

高一数学辅导三角函数（四）

【三角函数的图像与性质】

考点1 求与三角函数有关的函数的定义域 【例1】(1)求下列函数的定义域： ①y ＝

2＋log 12

x ＋tan x ；②y ＝sin （cos x ）；③y ＝lg sin (cos x)．

(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cos x)的定义域． 解析：(1)①⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12

x ≥0，tan x ≥0，

x >0

⎩⎨⎧0

k π≤x

2，k ∈Z ，

0

2

或π≤x ≤4，所以函数

的定义域是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，π2∪[π，4]．

②sin(cos x )≥00≤cos x ≤1

2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2

，k ∈Z ，所以函数的定义域是

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .

③由sin(cos x )＞0

2k π＜cos x ＜2k π＋π(k ∈Z)，

又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1，∴所求定义域为⎝⎛⎭

⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.

(2)0≤cos x ＜1

2k π－π2≤x ≤2k π＋π

2

，且x ≠2k π(k ∈Z)，

∴所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π－π

2，2k π∪(2k π，2k π＋π2

]，k ∈Z. 考点2 求三角函数的单调区间

【例2】 求下列函数的单调区间：

(1)y ＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3； (2)y ＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝

⎛⎭⎫x ＋π4.

解析：(1)∵y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x 3－π4，且函数y ＝sin x 的单调递增区间是

⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋

π

23k π－3π8≤x ≤3k π＋9π

8(k ∈Z)，

由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋

3π

2

3k π＋

9π8≤x ≤3k π＋21π8

(k ∈Z)， 即函数的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z)，单调递增区间为[3k π＋9π

8，3k π＋21π

8]

（k ∈Z ）. (2)作出函数y ＝－⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为

⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z)，单调递减区间为⎣

⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．

考点3 求三角函数的最小正周期、最值(值域) 【例3】(1)求下列函数的值域。

①y=cos(x+π

6 )，x ∈[0，π2 ]；②y=－sin 2x －3cosx ＋3. ③y=2+cosx 2−cosx

(2)已知f(x)＝A sin (ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R ，其中A >0，ω>0，0<φ<π

2的周期为π，且图象上一

个最低点为M ⎝⎛⎭⎫23π，－1.

(1)求f (x )的解析式；

(2)当x ∈⎣⎡⎦

⎤0，π

12时，求f (x )的值域．

（3）y=－1＋

42−cosx

，

（2）、(1)因为函数的周期为π，所以有T ＝2π

ω

＝π，所以ω＝2，因为函数图象上一个最低点

为M ⎝⎛⎭⎫23π，－1，所以－A ＋1＝－1，所以A ＝2，并且－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2×2π3＋φ＋1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2×2π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以k

＝1，解得φ＝π

6

.

函数的解析式为：f (x )＝2sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.

(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0，π12，

所以2x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0，π6，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，3

2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[1，3]，

2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6＋1∈[2，1＋3]，

所以f (x )的值域为[2，1＋3]．

考点4 三角函数的奇偶性、对称性的应用

【例4】(1)求函数y=3sin(2x+π

6

)的对称轴和对称中心。

(2)若函数ƒ(x)=sin x+φ

3

(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ= 。

(3)已知函数f ()x ＝sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π

6(ω>0)，若函数f ()x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离

的最小值为π

3

，则ω的值为________．

（2）因为ƒ(x)是偶函数，所以x+φ3=π

2＋k π(k ∈Z)，φ

=3

2

π+3π(k ∈Z)，

又φ∈[0,2π]，所以φ=3

2π；

（3）依题意T 4＝π3，∴T ＝4π3.∴2πω＝4π3.∴ω＝3

2

.

考点5正切函数的图像与性质

【例5】(1)判断函数ƒ(x)＝lg tanx+1

tanx−1

的奇偶性。

(2)设函数ƒ(x)=tan(x 2－π

3

).①求函数ƒ(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；

②求不等式-1≤ƒ(x)≤√3的解集。

解析：(1)由tanx+1

tanx−1

＞0得tanx ＜-1或tanx ＞1