微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法

)
21!u12u2 F (u0 )
41!u14F (4) (u0 )
(u4
u3u1
1 2!
u22
1 2!
u12u2
1 4!
u14
)eu0
■
10
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11
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
与线性偏微分方程的情形一样, 非线性偏微分方程的 Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个 无穷级数
u un n0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un由递推方式确定, 只是在 非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可.
具体而言之, 我们考虑算子形式的非线性微分方程
Lxu Lyu Ru F (u) g
(9.2.01)
12
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其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子, Ly 是一个关于y 的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子,
解: A0 F(u0 ) sinh u0
A1 u1F(u0 ) 2u1 cosh u0
A2
u2F(u0 )
1 2!
u12
F
(u0
)
u2
cosh
u0
1 2!
u12
sinh
u0
A3
u3F(u0 )
u2u1F(u0 )
1 3!
u13
F
(u0
)
u3
cosh
u0
u2u1
sinh
u0
1 3!
u13
cosh
utt c2uxx sin u 0,
ut 6u2ux uxxx 0
中的项sinu, 6u2ux都是非线性项.
2
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下面, 我们将犹如sinu, 6u2ux 这样的非线性项抽象地 记为F(u), Adomian分解法的处理办法是将F(u)线性化,
具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数
A4 u4F(u0 ) (u3u1 21!u22 )F(u0 ) 21!u12u2F(u0) 41!u14F (4) (u0)
u4
cos u0
(u3u1
1 2!
u22
)
sin
u0
1 2!
u12u2
cos u0
41!u14
sin
u0.
■
8
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例5. 计算F(u)=sinhu的Adomian多项式.
A2 u2xu0 u2u0x u1u1x
A3 u3xu0 u3u0x u2xu1 u2u1x
A4 u4xu0 u4u0x u3xu1u0 u3u1xu0 u3u1u0x u2u2xu0 21!u22u0x
■
7
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例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式.
(9.2.03)
u(0, y),
Lx x ,
0
u(0, u(0,
y) y)
xux (0, xux (0,
y), y)
1 2!
x
2u xx
(0,
y),
Lx
2 x2
,
Lx
3 x3
,
u
(0,
y
)
xux (0,
Lxu
y)
Lyu
21! xR2uuxx
(0,Fy)(u3)1!x3ugxxx
(0,
Ltu x xt 2 uux
其中
Lt
t
,
且Lt是可逆的,
将其逆算子
Lt 1
t
()dt
0
作用
于方程的两端, 并注意到初始条件 u(x,0) 0, 得到
u(x,t)
xt
1 3
xt3
Lt 1(uux
)
un (x,t)
n0
xt
1 3
xt 3 x
Lt 1(
n0
An )
17
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t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
■
5
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例2. 计算F(u)=ux3的Adomian多项式.
解: A0 F (u0x ) u03x
A1 u1x F(u0x ) 3u1xu02x
A2
u2x F(u0x )
1 2!
u12x
F
(u0
x
)
3u2
u2
x 0x
3u12xu0x
A3
u3x F(u0x ) u2xu1x F(u0x )
第九章 非线性偏微分方程 的
Adomian分解法
第一节 非线性项的Adomian多项式分解 第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程 第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法
1
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第一节 非线性项的Adomian多项式分解
u un n0
Lxu Lyu Ru F (u) g
(9.1.01) (9.2.01)
16
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例1. 求解非齐次对流问题
ut uux x xt 2 ,u(x, 0) 0, t 0
其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式
u un n0
uux An n0
15
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将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程(9.2.01)的级 数形式的解.
学者们的研究表明, 如果方程(9.2.01)存在精确解, 则 所得到的级数解将快速收敛到精确解. 但在具体问题中, 如果级数的和函数不容易求出, 则可取适当选取项数从 而得到高精度的数值解.
1.
u0 0 Lx1g,
u1 Lx1Lyu0
u u2
nL0xu1Ln y
u1
Lx1R(u0 ) Lx1 AF0(,u) Lx1R(u1) Lx1 A1,
n0
An
(9.2.05) (9.2.03)
u3 Lx1Lyu2 Lx1R(u2 ) Lx1 A2 ,
............................
13
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得
Lxu g Lyu Ru F (u)
(9.2.02)
我们将逆算子Lx-1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到
其中
u 0 Lx1g Lx1Lyu Lx1Ru Lx1F (u)
uxy eye2u
其中u=u(x,
,u(x, 0)
y).
1 2
x
ln(1
ex
),
u(0,
y)
ln(1
ey
).
解: 将方程写成算子形式
Ly1LxLyu Ly1eye2u
其中
Lx
x , Ly
, y
并且 Lx1
x
()dx,
0
Ly1
y
()dy.
0
Lx (Ly1Lyu(x, y)) Ly1(eye2u ) Lx (u(x, y) u(x,0)) Ly1(eye2u ) Lxu(x, y) Lxu(x,0) Ly1(eye2u ) Lx1Lxu(x, y) Lx1(Lxu(x, 0) Ly1(eye2u ))
(9.1.04)
An
1 dn
n! dn
F
(
n
i0
iui
)
0
,
(n 0,1,2,3, ) (9.1.03)
4
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式.
解: A0 F(u0 ) u02
A1 u1F(u0 ) 2u1u0
A2
u2F(u0 )
1 2!
F(u)是非线性项, g是自由项 .
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
解:
F (u)
uux
1 2
(u
2
)
x
的Adomian多项式已求出,
1 G(u) , 由例1,
2
x
只须对其乘以
1 2
G(u)=u2 的 再关于x求一
阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:
A0 u0u0x A1 u1xu0 u1u0x
F(u) An n0
(9.1.02)
其中每一个An称为Adomian多项式, 由下式确定
An
1 n!
dn
dn
n
F(
i0
iui
)
,
0
(n 0,1,2,3,
)
(9.1.03)
其中ui来自于(9.1.01).
3
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一般表达式(9.1.03)可简化如下:
A0 F(u0 )
A1 u1F(u0 )
A2
u2F(u0 )
1 2!
u12
F
(u0
)
A3
u3F(u0 ) u2u1F(u0 )
1 3!
u13
F
(u0
)
A4
u4F(u0 )
(u3u1
21!u22 )F(u0 )
1 2!
u12u2
F
(u0
)
41!u14F (4) (u0 )
.............................................................
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
1 3!
u13x
F
(u0
x
)
3u3u0x 6u2xu1xu0x u13x
A4
u4xF(u0x )
(u3xu1x
1 2!
u22x
)
F
(u0
x
)
21!u12xu2xF(u0x )
41!u14xF (4) (u0x )
3u4xu02x
6(u3xu1x
1 2!
u22x
)u0x
3u12xu2x .
■
6
A2 u2xu0 u2u0x u1u1x
A3 u3xu0 u3u0x u2xu1 u2u1x
...........................................
计算得到
所以方程的精确解为
u0 (x,t) xt
u1(x,t)
1 3
xt 3
Lt 1 A0
1 3
xt3
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的
未知函数u分裂成一个无穷级数
u(x, y) un (x, y) n0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性
项的存在, 我们得不到un递推公式.
例如方程
解: A0 F(u0 ) eu0
A1 u1F(u0 ) u1eu0
A2
u2F(u0 )
1 2!
u12
F
(u0
)
(u2
1 2!
u12
)eu0
A3
u3F(u0 )
u2u1F(u0 )
1 3!
u13
F
(u0
)
(u3
u2u1
1 3!
u13
)eu0
A4
u4F(u0 )
(u3u1
1 2!
u22
)F
(u0
u12
F
(u0
)
2u2u0 u12
A3 u3F(u0 ) u2u1F(u0 ) 31!u13F(u0 )
2u3u0 2u2u1
A4 u4F(u0 ) (u3u1 21!u22 )F(u0 ) 21!u12u2F(u0) 41!u14F (4) (u0)
2u4u0 2(u3u1 21!u22 )u0.
u0
A4
u4F(u0 )
(u3u1
1 2!
u22
)F
(u0
)
21!u12u2 F (u0 )
41!u14F (4) (u0 )
u4
cosh u0
(u3u1
1 2!
u22
) sinh
u0
21!u12u2
cosh u0
41!u14
sinh
u0
■
9
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例6. 计算F(u)=eu的Adomian多项式.
解: A0 F(u0 ) sin u0
A1 u1F(u0 ) 2u1 cosu0
A2
u2F(u0 )
1 2!
u12
F
(u0
)
u2
cos u0
1 2!
u12
sin u0
A3 u3F(u0 ) u2u1F(u0 ) 31!u13F(u0 )
u3
cos
u0
u2u1
sin
u0
1 3!
u13
cos u0
从而得到递推公式
u0 (x,t) xt
u1 ( x,
t)
1 3
xt 3
Lt 1
A0
u2 (x, t) Lt 1 A1
u3 (x,t) Lt 1 A2
..........................
由第一节的例3,
记
uux
1 2
Lx (u2 ),
则
A0 u0u0x
A1 u1xu0 u1u0x