对利萨如图形的探究

对利萨如图形的探究

徐奕（04011512）

（东南大学，南京 211189）

摘要：示波器是一种用途广泛的电子测量仪器，它能对电压信号的波形进行直接的观察和定量分析，示波器分两种，其中模拟示波器长期以来被广泛应用来观察常规波形，对周期信号的观察与测量尤为适用，因此也用来观察利萨如图形。

关键词：利萨如图形频率比示波器

The study of Lissajou figure

Xu Yi

(Southeast University, Nanjing, 211189)

Abstract: The oscilloscope is a widely used electronic measuring instrument.It can directly observe and quantitatively analyze the waveform of the voltage signal.Between the two kind of oscilloscopes,the analog oscilloscope has long been widely used to observe regular waveform,particularly applicable to the observation of the periodic signals.So it is often used to observe the Lissajou figure.

Abstract: Lissajou figure ; the rate of frequency ; oscilloscope

1利萨如图形概念

1.1定义

一个质点同时在X轴和Y轴上作简谐运动，形成的图形就是李萨如图形。具体来说，相互垂直的两个简谐振动，如果振动频率相同，则可形成稳定的椭圆曲线，而对于振动频率不同的垂直振动叠加，一般合振动的轨迹不能形成稳定的图案，但如果两振动频率成整数比，则合振动的轨迹为封闭曲线，称为利萨如图形。

1.2公式

利萨如图形上的每一个点都可以用以

作者简介：徐奕，1993年，女，本科在读，rdxy123@

下公式进行表示：

X=A1sin(ω1t+ψ1)

Y=A2sin(ω2t+ψ2)

2模拟示波器观察利萨如图形原理

如果在竖直偏转板上（简称y轴）加正

弦电压，同时在水平偏转板（简称x轴）

加锯齿波电压，电子受竖直、水平两个方向的力的作用，电子的运动就是两互

相垂直的运动的合成。当锯齿波电压比 正弦电压变化周期稍大是，在荧光屏上将能显示出完整周期的所加正弦电压的示波图，如下图

在示波器X 轴和Y 轴同时各输入正弦信号时，光点的运动是两个相互垂直谐振动的合成，若它们的频率的比值f x ︰f y =整数时，合成的轨迹是一个封闭的图形，称为利萨如图。利萨如图的图形与频率比和两信号的位相差都有关系，但利萨如图与两信号的频率比有如下简单的关系

y

x x

y n n f f

n x ，n y 分另为利萨如图的外切水平线的切点数和外切垂直线的切点数。如果f x 、f y 中有一个已知且观察它们形成的利萨如图，得到外切水平线和外切垂直线的切点数之比，即可测出另一个信号的频率。实验时，X 轴输入某一频率的正弦信号作为标准信号，Y 轴输入一待测信号，调节Y 轴信号的频率，分别得到三种不同的n x ：n y 利萨如图形，计算出f y ，读出Y 轴输入信号发生器的频率f y /

。

3 利萨如图形及其变化 3.1 利萨如图形的相位参量 李萨如图形的沿X 轴和Y 轴的谐振动方程可表示为

X = A 1sin ( m ωt +φ1) Y = A 2sin ( n ωt +φ2)

式中频率比为m ∶n ,频率参数m 和n

为互质的正整数;φ1 和φ2为初相位参量,李萨如图形——质点的轨迹图线和运动走向取决于m 、n 与φ1 、φ2 。

引进一个综合频率和初相位的相位参量θ,相当于有效的初相位差,θ定义为 θ = m φ2 - n φ1

3.2 图形的重复周期公式

同一频率比的图形随θ变化的重复周期为2π, 即θ±2π的图形与θ的图形相同。φ1 取定值的图形随φ2 变化的重复周期为2π/m;φ2取定值的图形随φ1 变化的重复周期为2π/n; 初相位差φ2 - φ1取定值的图形随φ1 或φ2 变化的重复周期为2π/（m+n ）。

3.3 高度对称性图形的判定公式

一切图形都具有一定的对称性, 对称性类型取决于m 和n 的奇偶性。m 为偶数，X 轴对称；n 为偶数，Y 轴对称；m 和n 均为奇数，坐标原点中心对称。每一频率比的图形中存在两种高度对称性图形，图线十分端正，既对X 轴对称，又对Y 轴对称，又对原点中心对称，这两种图形的图线相同而走向相反。高度对称性图形的判定公式为 θ = (2 l + 1)π/2

3.4 基本图形列表

一切频率比的图形随θ变化的重复周

期均为2π1θ为π/4 的整数倍的图形

为基本图形,全周期内共有8 个基本图

形, 其中包括两种图线相同走向相反

的高度对称性图形和两图线不同的非

封闭图形1 由频率参数m 、n和相位

参量θ纵横编排的基本图形列表于下

图。

4利萨如图形的应用

由于两个相互垂直、同频率的简谐振动其相位差决定李萨如图形的花样, 因此可以反过来通过李萨如图形的花样求两个相互垂直、同频率简谐振动的相位差。利用这种方法可进行两正弦电压相位差的测量。把一个正弦电压加在示波器荧光屏的垂直偏转板, 另一个正弦电压加到示波器的水平偏转板. 此时,我们可在荧光屏上观察到一个椭圆形的李萨如图形, 由其求两正弦电压相位差, 根据李萨如图形可知, 如果

两正弦电压的最大值Ux 和Uy 相等, 示波器放大器在水平方向与垂直方向的偏转灵敏度相同, 则当李萨如图形是一条直线, 且与X轴夹角为45度或135度时，相位差为0或180度；当李萨如图形为一个圆时, 两正弦电压的相位差为90度或270度，由李萨如图形可知, 如果两正弦电压频率成整数倍, 则示波器荧光屏上可以得到比较复杂的稳定图形。利用李萨如图进行相关的测量, 方法简便, 误差较小, 是一种高效实用的测量方法。

5总结

1）李萨如图形具有对称性。

2）当振幅比与频率比一定时，利萨如图形随相位变化具有周期性。

3）李萨如图形与频率之间存在确定的关系。

4）利萨如图形可应用于测量正弦电压相位差。

参考文献：

[1]《长沙电力学院学报（自然科学版）》1998年

二期

[2]《西华大学学报（自然科学版）》2008年06期