数学分析6.3泰勒公式(练习详解)
泰勒公式
泰勒公式一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为nx x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式.)()()()(0202010nn n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="，n n n a n x p !)(,0)(= ，即.!)(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n ="='==由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x fx x x f x x x f x f x T -++-''+-'+= （2）称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数=k k x fk (!)(0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x fk n k == （3）下面将要证明))(()()(0nn x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于nx x )(0-的高阶无穷小量．定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0nx x -ο).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x fx x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）证 设 n R (,)()(),()()0nn n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)()(lim0=→x Q x R nn x x由关系式(3)可知， 0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n并易知 !.)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x fn 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到.0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim)()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x fx Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0nx x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0nn x x x p x f -+=ο， (5)其中)(x p n 为(1)式所示的n 阶多项式，这时并不意味着)(x p n 必定就是f 的泰勒多项式)(x T n ．例如 ,),()(1++∈=N n x D xx f n 其中D )(x 为狄利克雷函数．不难知道，)(x f 在0=x 处除了0)0(='f 外不再存在其他任何阶导数(为什么?)．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式)(x T n ，但因 ,0)(lim )(lim00==→→x xD xx f x n x 即)()(nx x f ο=，所以若取 .00000)(2≡⋅++⋅+⋅+=nn x x x x p 时，(5)式对任何+∈N n 恒成立．注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 综合定理6．8和上述注2，若函数f 满足定理6．8的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式)(x p n 只可能是f 的泰勒多项式)(x T n ．以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+=它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．例1 验证下列函数的麦克劳林公式：)1( );(!!212n nxx n x x x e ο+++++= (2) );()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- )3( ;)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+(6))(1112n n x x x x xο+++++=- ． 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明． (2) 设x x f sin )(=，由于)2sin()()(πk x x f k +=，因此 .,2,1,)1()0(,0)0(1)12()2(n k f fk k k =-==--n k x k x f xx f x x f k k k ,,2,1,)1()!1()1()(,,11)()1ln()(1)(' =+--=+=+=--代人公式(6)，便得到x sin 的麦克劳林公式．由于这里有)()(212x T x T m m =-，因此公式中的余项可以写作)(12-m xο，也可以写作)(2m x ο)．关于公式3)中的余项可作同样说明．)4(设因此.,,2,1,)!1()1()0(1)(n k k fk k =--=-代人公式(6)，便得)1ln(x +的麦克劳林公式利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限． 例2 写出22)(x ex f -=的麦克劳林公式，并求)0()98(f与)0()99(f ．解 用)2(2x -替换公式1)中的x ，便得).(!2)1(!22212224222n n n nx x n x x x eο+⋅-+⋅+-=-根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．由泰勒公式系数的定义，在上述)(x f 的麦克劳林公式中，98x 与99x 的系数分别为.0)0(!991,!4921)1()0(!981)99(4949)98(=⋅-=f f 由此得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(=⋅-=f f例3 求x ln 在2=x 处的泰勒公式．解 由于),221ln(2ln )]2(2ln[ln -++=-+=x x x 因此).)2(()1(21)1()2(221)2(212ln 122n n nn x x n x x x -+-⋅-++-⋅--+=-ο根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式． 例 4 求极限4202cos limx e x x x -→-.解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取4=n ，并利用例2)：),(821),(2421cos 54225422x xxex x x x xοο++-=++-=-).(12cos 5422x x ex x ο+-=--因而求得.121)(121limcos lim4544202-=+-=-→-→x x x x e x x x x ο 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。
泰勒公式知识点及习题
n
x 0
n!, n 0,1,2,... ；
x
x3 x5 x 2 n 1 n ... 1 R ( x) ； 2n 1! 2n2 3! 5! x 2 n 3 2n 3 sin(x ), (0,1) 2n 3! 2
n 1! n x0 n 1!x0 x0
n 0
所以 Rn x
f ( n 1) ( ) n 1 x , 介于 x 与 x0 之间． n 1 ！
定理中的关系称为 Taylor 公式． Rn x 称为 Taylor 公式的 Lagrange 余项． 特别地，在 x0 0 时，有
n
Peano 余项. 例 6.15 求函数 sin x ， cos x ， e ， 解 由于对任意的 n N ，有
x
1 ， ln 1 x 在 x 0 处的 Taylor 公式． 1 x
；
n sin n x sin x 2
n cos n x cos x ； 2
n 1 1 x0 n n 1x0 x0 n
n n n 1 n 1 0
n
..... n n(n 1) 2 x 0 f n 1 ． n 1!
f P f x P x
由上面结果可以直接得到如下推论 推 论 6.2 设 两 元 函 数 z f ( x, y) 在 区 域 D R 上 的 偏 导 数 恒 为 零 ， 那 么
2
z f ( x, y) 在区域 D 上为常数。
类似地，我们可以得到多元函数的中值定理 定理 6.17 设 n 元函数 z f ( x1 , x2 ,, xn ) 在凸区域 D R 上是一个可微函数，则对
泰勒公式详解(Taylor formula)【一元分析学经典讲义】
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
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两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0及 1 为端点
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
f ( x0 )
f
(
x0
) x0
1 2
f (1 ) x02
(1)
f (1)
f ( x0 )
f ( x0 )(1
x0
)
1 2
f (2 )(1
x0 )2
(2)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
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五、小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y x
y sin x
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2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
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思考题
利用泰勒公式求极限
e x sin x x(1 x)
lim
x0
x3
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思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
1 的n x
阶泰勒公式
.
二、求函数 f ( x) xe x 的n 阶麦格劳林公式 .
数学分析6-3 泰勒公式
f
( n)
(t ) ( x t )n ] ; n!
不妨设 x x0 ， F (t ), G(t ) 在 [ x0 , x] 上连续, 在 则
( x0 , x )上可导, 且
G( t ) ( n 1)( x t )n 0 , t [ x0 , x ).
由柯西中值定理, 得 F ( t ) F ( t ) F ( x0 ) F ( ) . G ( t ) G ( t ) G ( x0 ) G ( ) 因为 ( n1) f (t ) F ( t ) ( x t )n , n! 所以 ( n1 ) F (t ) f ( ) , [t0, x0 ) (a , b), G ( t ) ( n 1)!
( n)
即
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 ) ),
n
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
则不难得到:
f
(k )
( x0 ) Pn ( x0 ), k 0, 1, 2, , n,
(k )
(1)
其中 k 0 表示不求导. 这时称 f ( x0 ) Tn ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) 1! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n . n!
此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.
例1 验证下列公式
x x2 xn 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
x3 x 2 m 1 2. sin x x ( 1)m 1 o( x 2 m ); 3! (2m 1)! x2 x 2m 3. cos x 1 ( 1)m o( x 2 m 1 ); 2! (2m )!
泰勒公式讲解
泰勒公式讲解
泰勒公式，又称为泰勒展开式，是数学分析中的一种重要工具，它可以用来将某些复杂的函数表示成为一系列简单函数的和的形式。
具体地来说，对于一个可导函数f(x)，在某一点x=a处进行Taylor展开，可以得到以下公式：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-
a)^2+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3+...+\frac{1}{n!}f^n(a)(x-
a)^n+R_n(x)
其中f'(a)、f''(a)、f'''(a)、...、f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，R_n(x)则表示余项，它的表达式为：
R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}
其中\xi在x和a之间，即a<\xi<x。
余项通常被用来判断Taylor公式的收敛性，以及估计近似误差的大小。
Taylor公式在数学分析、物理学、工程学等领域发挥着至关重要的作用，广泛应用于求解微分方程、数值计算、最优化等问题。
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
§7多元函数Taylor公式和极值问题练习参考解答
887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件
Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证 设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!
泰勒公式例题
泰勒公式例题(共28页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x ex x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2limsin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+ 例利用泰勒展开式再求极限 。
泰勒公式的题型讲解
( 1)( n 1) xn o(xn ).
n!
特别， n, 有
二项式展开公式
（1 x)n 1 nx n(n 1) x2 nxn1 xn. 2!
当 1时, 有
1 1 x x2 x3 (1)n xn o(xn ), 1 x
设x x0 x，x x x0，则有 f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ), （| x x0 | 充分小）.
这就是利用导数作近似计算的公式. 它表明，当 x与x0充分接近时，可以用切线 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) 近似地代替曲线y f (x). 即曲线y f (x)在x的纵坐标 f (x)近似等于其在(x0 , f (x0 ))的切线在x的纵坐标
一般地，可用 n 次多项式
f (x) Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn , （n阶近似）
且
Pn (0) f (0), Pn(0) f (0),, Pn(n) (0) f (n) (0).
为确定系数a0 , a1,, an , 对Pn (x)逐次求导，直到n阶, 并令x 0，得
1 1 x x2 x3 xn o(xn ). 1 x
例8. f (x) ln(1 x), x 0.
f
(n) (x)
( 1) n 1 (1
(n x)
n
1)!
,
f (n) (0) (1)n1(n 1)!.
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n1 xn o(xn ).
6 53
)
5.08
泰勒公式与极值精品习题整理
Taylor 展式、极值问题1． 将函数+++x y z ln(1)在点x y z =(,,)(0,0,0)分别展开成带Peano 余项的二阶泰勒展式和带有Lagrange 余项的一阶Taylor 展式。
解：将函数+++x y z ln(1)中的++x y z 看作一个整体，并记作=++u x y z . 将一元函数+u ln(1)在u =0处展开成带Peano 余项的二阶Taylor 展式:+=-+u u u o u 22ln(1)12(). 将=++u x y z 代入到上式即得+++=++-+++x y z x y z x y z o ρ22ln(1)()12()(). 上式即为所求的带Peano 余项的二阶Taylor 展式。
这里ρ=++x y z 2222. 注意++=o x y z o ρ22(())().为了求带Lagrange 余项的Taylor 展式，我们需要求函数的Hesse 矩阵。
为此，我们将函数+++x y z ln(1)看作函数+u ln(1)和函数=++u x y z 的复合函数。
于是⎝⎭⎪+ ⎪+++= ⎪⎛⎫u x y z 11grad(ln(1))111. 由此进一步得+++x y z ln(1)的Hesse 矩阵为H x y z u =-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪2(,,)1(1)111111)(. 于是所求的带Lagrange 余项的一阶Taylor 展式为θθθln(1)()12(,,)(,,)x y z x y z x y z H x y z x y z +++=++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=21+++=++-1++22θx y z x y z x y z [()]()().（*） 这里∈θ(0,1).这是课本p.82，1（3），课本所给出的答案为x y z x y z +++=++-++ξηςln(1)()12()2.（**）关于不确定的量ξ，η，ς，课本没有给出说明。
泰勒公式详解(Taylorformula)【一元分析学经典讲义】-文档资料
（如下图）
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y ex
y ex
y x
y ln( 1 x )
y 1 x
o
o
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不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题: 寻 P ( x ) f ( x ) P ( x ) 找 函 数 , 使 得
R ( x )f( x ) P ( x )可 误 差 估 计
( n 1 ) ( n 1 ) R ( x ) f ( x ) n
则 由 上 式 得
( n 1 ) f ( ) n 1 R ( x ) ( x x ) ( 在 x 与 x 之间 ) n 0 0 n 1 !
泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出
二、 Pn 和 Rn 的确定
三、泰勒(Taylor)定理 四、简单的应用
五、小结
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一、问题的提出
f ( x ) x 1 . 设 在 处 连 续 , 则 有 0
f ( x ) f ( x ) [ ] 0
f ( x ) f ( x ) 0
( n 1 )
f ( ) n 1 x R ( x ) ( x x )( x之 其 中 在 与 间 ) . n 0 0 ( n 1 )!
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( a , b ) ( n 1 ) R ( x ) 假 设 , 在 内 具 有 直 到 阶 证明: 由 n
导 数 , 且
n
的 区 间 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 , 得
R ( ) R ( ) R ( x ) n 1 n 1 n 0 n n ( n 1 )( x ) ( n 1 )( x ) 0 1 0 1 0
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e-分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例利用泰勒展开式再求极限 。
数学分析6.3泰勒公式(讲义)
第六章微分中值定理及其应用2 泰勒公式(讲义)一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式若f在x0可导，则有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0).即在点x0附近，用f(x0)+f’(x0)(x-x0)逼近函数f(x)时，其误差为(x-x0)的高阶无穷小量.若要求误差为o((x-x0)n)，可参考n次多项式：P n(x)=a0+a1 (x-x0)+a2(x-x0)2+…+a n(x-x0)n. 则P n(x0)=a0；P n’(x0)=a1；P n”(x0)=2!a2；…；P n(n)(x0)=n!a n. 即a0=P n(x0)；a1=P n ′(x0)1!；a2=P n′′(x0)2!；…；a n=P n(n)(x0)n!.若f在点x0存在直到n阶的导数，则由这些导数构造的n次多项式：T n(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n，称为函数f在点x0处的泰勒多项式，T n(x)的各项系数f(k)(x0)k!(k=1,2,…,n)称为泰勒系数。
f(x)与其泰勒多项式T n(x)在点x0有相同的函数值和直至n阶导数值，即f(k)(x0)=T n(k)(x0), k=0,1,2,…,n.定理6.8：若f在x0存在直到n阶的导数，则有f(x)=T n(x)+o((x-x0)n)，即f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n).证：记R n(x)=f(x)-T n(x)，Q n(x)=(x-x0)n，则R n (x 0)=R n ’(x 0)=…R n (n)(x 0)=0；Q n (x 0)=Q n ’(x 0) =…=Q n n-1(x 0)=0，Q n (n)(x 0)=n!. ∵f (n)(x 0)存在，∴在x 0的某邻域U(x 0)内f 存在(n-1)阶导函数f (n-1)(x). 根据洛必达法则：limx→x 0R n (x)Q n (x)=limx→x 0R n ′(x)Q n ′(x)=…=limx→x 0R n (n−1)(x)Q n(n−1)(x)=limx→x 0f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)−f (n )(x 0)(x−x 0)n!(x−x 0)=1n!lim x→x 0[f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)x−x 0−f (n )(x 0)]=0.∴R n (x)=f(x)-T n (x)=o (Q n (x))=o ((x-x 0)n )，即f(x)=T n (x)+o ((x-x 0)n ) f(x)=f(x 0)+ f ′(x 0)1!(x-x 0)+f ′′(x 0)2!(x-x 0)2+…+f (n)(x 0)n!(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ). (泰勒公式)注：1、R n (x)=f(x)-T n (x)称为泰勒公式的余项，形如o ((x-x 0)n )的余项称为佩亚诺型余项。
泰勒公式详解
泰勒公式详解泰勒公式是一种能够计算函数在某一点的微分值的有效方法，它可以求解出函数在特定点的梯度。
计算机科学中，泰勒公式可以应用到机器学习，优化方法，模式识别等多个领域。
它也用于解决数学问题，如曲线拟合等。
泰勒公式的历史可以追溯到18世纪，由英国著名数学家爱德华泰勒发现。
此前，自古以来，人们对微积分的推导很早就有了探索，但是没有什么能够使计算更容易的有效方法。
爱德华泰勒研究了微积分的理论，渐渐发现了泰勒公式，从而解决了这一难题。
泰勒公式使用一系列有限级数来求解出微分值。
在求解函数上，计算过程和函数的复杂度没有太大关系，只要将函数拆解为其中有限级数微分就可以求出函数在特定点的梯度。
首先，我们可以用一个公式来表示泰勒公式：f(x) = f^(n)(x_o) / n! + f^(n-1)(x_o) / (n-1)! * (x-x_o) + ... + f^(1)(x_o) * (x-x_o)^(n-1) + f(x_o) * (x-x_o)^n 其中，f(x)表示函数f在x点的函数值，f^(n)(x_o)表示函数f 在x0点的n阶导数，n!表示给定阶乘， x-x_o表示函数f在x点减去x0点的自变量的值，f(x_o)表示函数f在x0点的函数值。
也就是说，根据函数的某点的阶导数的值及给定阶乘，可以通过泰勒公式求出梯度，从而求出函数在该点的函数值。
泰勒公式的应用可以从优化方法的角度进行讨论。
需要优化的函数通常可以表示为一个局部可微的多元函数。
当我们需要求解函数的最小值时，可以使用泰勒公式来求出函数在某点的梯度，从而找到这个点的方向向量，最终求出函数的最小值。
当前，深度学习中使用梯度下降方法进行参数训练和优化，就是基于泰勒公式的有效应用。
此外，泰勒公式也可以用于数学曲线的拟合。
在求解参数方面，我们可以使用一阶导数和二阶导数，将函数与拟合曲线联系起来，比较复杂的情况下可以使用高阶导数，从而拟合出满足要求的曲线。
第15节 泰勒公式-解析版
第15节 泰勒公式知识与方法用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.1.泰勒公式：设函数()f x 在0x 处存在n 阶导数，则()()()()()()()()()00000020()2n nnf x f x f x f x x x x n x x x x x o ''=++-++-+--！！，其中，()()0n f x 是函数()f x 在0x 处的n 阶导数值，()()0no x x -是皮亚诺余项，它表示0x x →时，()0nx x -的高阶无穷小.2.麦克劳林公式：当0x =时，泰勒公式变成()()()()()()()2"00002!nnn f f f x f f x x x o x n '=+++++！，这个公式叫做麦克劳林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：（1）23126xx x e x =++++； （2）()2311ln 123x x x x +=-+-；（3）356sin 120x x x x +=--； （4）242o 412c s x x x+=--；（5）3523tan 15x x x x =+++.3.泰勒公式在高中数学中的应用：（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式1x e x ≥+，若保留到二次项，则可以得到()20211xe x x x ≥+-<≤+；类似地，还可以得到()ln 1x x +≤，()()21ln 102x x x x +-≥≥，()()21ln 1102x x x x +≤--<≤，in 0()s x x x ≤≥，3in )0(s 6x x x x ≥-≥，2cos 12xx ≥-等不等式.（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都是一阶的，也就是切线放缩；典型例题【例1】已知函数()()ln af x x a x=-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：1x f x e ⎛⎫⎪⎭>- ⎝.【解析】33sin sinx 0x x ax x ax >-⇔--<，设()()3sin 0f x x ax x x =-->，则()213cos f x ax x '=--，()6f x ax sinx ''=-+，()6cos f x a x '''=-+，注意到()00f =，所以有端点效应，而()()000f f '''==，所以()0610f a '''=-+≤，故16a ≥，此时，()3sin 6x f x x x ≤--，设()()3sin 06x g x x x x =-->，则()21cos 2x g x x '=--，()sin g x x x ''=-+，()1cos 0g x x =-+''≤'，所以()g x ''在()0,+∞上，又()00g ''=，所以()0g x ''<，从而()g x '在()0,+∞上，因为()00g '=，所以()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上，易求得()00g =，所以()0g x <恒成立，因为()()f x g x ≤，所以()0f x <，即3sin 0x ax x --<，满足题意，故实数a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【例2】若当0x >时，3sin x x ax >-恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】根据泰勒展式，356120x x sinx x =-+-，，所以当0x >时，3sin 6x x x >-， 从而要使3sin x x ax >-，只需336x x x ax -≥-，故3106a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭->，所以16a ≥.【答案】16a ≥【例3】（2021·新课标Ⅰ卷）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c ，则（ ） A.a b c << B.b c a << C.b a c << D.c a b <<【解析】解法1：根据泰勒展开式，()2311ln 123x x x x +=-+-，所以23311220.010.010.010.020.00010.01233a ⎛⎫⎪⎝≈⨯-⨯+⨯=-+⨯⎭，2331180.020.020.020.020.00020.01233b ≈-⨯+⨯=-+⨯，设()11f x x =+，则()()12112f x x -'=+，()()32114f x x ''=-+，()()52318f x x -'''=+，所以()00f =，()120f '=，()140f ''=-，()038f '''=，从而()()()()()()()()()2323230000111000026262816f f f f f x f f x x x f f x x x x x x ''''''''''''=++++≈+++=-+故()2331110.040.040.040.040.020.000240.012816c f =≈⨯-⨯+⨯=-+⨯，比较a 、b 、c 的近似表达式容易发现a c b >>.解法2：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，设()()232ln 1134x f x x x +=-+<<，则21.0432ln1.01 1.0412ln1.041 1.044a c f+-===，()()()21303x x f x x --'=>+，所以()f x 在()1,3上，所以()1.0410f f >=，即0a c ->，故a c >，选B.解法3：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，注意到()2ln1.01 1.0412ln 10.01140.011a c -==++⨯，设()()2ln 1141f x x x =++，[]0,0.01x ∈，则()()()214121214114x x f x x x x x ⎡⎤++⎣⎦'=++++，当[]0,0.01x ∈时， ()()2211420x xx x +-+=-≤，所以()22114x x≤++，从而114x x +≤+，故()0f x '≥，当且仅当0x =时取等号， 从而()f x 在[]0,0.01上，所以()()0.0100f f >=，即0a c ->，所以a c >，选B.解法4：设()()(2ln 100).01f x x x =+≤≤，()()(0ln 12)0.01g x x x =+≤≤，()()14100.01h x x x =+≤≤，则显然()f x 、()g x 、()h x 在[]0,0.01上都，且()()()0000f g h ===，()21f x x '=+，()212g x x '=+，()14h x x'=+00.01x <≤时，12141x x x +>+＋， 所以()()()f x h x g x '''>>，即三个函数在]0,0.01上的增长速率是()f x 最大，()h x 居中，()g x 最小，而()0.01a f =，()0.01b g =，()0.01c h =，所以必然有b c a <<. 【答案】B强化训练1.（★★★★）若关于x 的不等式11ln ln x ae x a --≥-恒成立，则正实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：1ln 1ln 11ln ln 1ln ln ln 1ln x a x x a e x a e e x a e a x a --+--≥-⇔⋅->-⇔+->, 两端同时加x 得：ln 1ln 1ln x a e a x x +-+-≥+，即ln 1ln ln 1ln x a x e x a x e +-++-≥+①， 设()()x f x e x x =+∈R ，则不等式①即为()()ln 1ln f x a f x +-≥， 显然()f x 在R 上，所以ln 1ln x a x +-≥，从而ln ln 1a x x ≥-+，注意到ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号，所以ln 1110x x x x -+≤--+=，即()ln 10max x x -+=，因为ln ln 1a x x >-＋，所以ln 0a ≥，从而1a ≥.解法2：111ln ln 1ln ln 0x x ae x a ae x a --->-⇔--+≥，首先取1x =得到1ln 0a a -+≥，从而1a ≥，其次，当1a ≥时，因为1x e x ≥+，所以1x e x -≥，又ln 1x x ≤-，所以()()11ln ln 11ln ln 0x ae x a ax x a a x a ---+≥---+=-+≥，故a 的取值范围是[)1,+∞. 【答案】[)1,+∞2.（★★★★）若当0x >时，2210x ax ax e ++-<恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】解法1：()2222221101x x xe ax ax e a x x e a x x-++-<⇔+<-⇔<+，设()()2210x e f x x x x -=>+，则()a f x <恒成立，()()()22222121x x e x f x x x -++'=+， 设()()()2221210x g x x e x x =-++>，则()()224422x g x x x e '=+-+，()()22820xg x x e''=+>，所以()g x '在()0,+∞上，又()010g '=>，所以()0g x '>，故()g x 在()0,+∞上，因为()00g =，所以()0g x >恒成立，从而()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()22200012lim lim lim 221x xx x x e e f x x x x +++→→→-===++，所以2a ≤. 解法2：2222101xxax ax e e ax ax ++-<⇔>++，由泰勒展开式，23126xx x e x =++++，所以当0x >时，212xx e x >++，故22122x e x x >++，从而要使221x e ax ax >++，只需221221x x ax ax +>++＋，所以2a ≤. 【答案】(],2-∞3.（★★★★★）若当0x ≥时，2cos x e ax x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：显然当0x =时，不等式2cos x e ax x ->-对任意的实数a 都成立，当0x >时，cos 22cos cos 2x x xe x e ax x ax e x a x+--≥-⇔≤+-⇔≤，设()()cos 20x e x f x x x+-=>，则()()()22sin cos 21sin cos 2x x x e x x e x x e x x x f x x x ---+---+'==，设()()()1sin cos 20x g x x e x x x x =---+>，则()()()sin cos sin cos 0x x g x xe x x x x x e x '=-++=->， 所以()g x 在()0,+∞上，又()00g =，所以()0g x >，故()0f x '>，从而()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()000cos 2sin lim lim lim 11x x x x x e x e xf x x +++→→→+--===，因为()a f x ≤恒成立，所以1a ≤.解法2：2cos cos 2x x e ax x e x ax -≥-⇔+≥+，由泰勒公式，23126xx x e x =++++，24cos 124x xx =-+-，所以当0x ≥时，212xx e x ≥++，2cos 12x x ≥-，从而22cos 11222x x x e x x x ≥+++-=++，要使cos 2x x e ax ≥++，只需22x ax ≥+＋，从而()10a x -≤，故1a ≤. 【答案】(],1-∞。
泰勒公式练习题
f (b) 0, 试证明存在一点 (a , b), 使得
证 分别在a点与b点应用泰勒公式 ,有
1 2 f ( a ) f ( a )( x a ) f ( )( x a ) f ( x) 1 2! 1 f (a ) f (1 ) ( x a )2 , (a 1 x ) 2!
( n 1 )
其中在x与b之间.
因为 f (b) f (b) f (b) f ( n 1) (b) 0, 所以
f ( x)
f
( n)
( ) ( ) n n f (a ) f ( a b ) , ( x b) , n! n!
( n)
又f (a ) 0, (a b)n 0, 故f ( n ) ( ) 0, (a , b).
上具有三阶连续在闭区间设函数内至少存在一点区间介于其中由麦克劳林公式有证明在开导数从而从而由介值性定理和最大值上必有最小值计算cosx的近似值使其精确到0005试确定x的适用范围
泰勒公式的应用 例1 证明 证
1 x (1 x 1 1 1 1 ( 1) x 2 2 2! 2 2 5 3 1 1 1 1 ( 1)( 2)(1 x ) 2 x 3! 2 2 2 5 3 x x2 1 (0 1) 1 (1 x ) 2 x 2 8 16 2 x x ( 1)( n) n 1 n 1 (0 1) 0 ). 1 x 1 (1 ( xx ) x (n 1) ! 2 8
4
4
4
例3
| f ( x ) | a , 设f ( x )在[0， 1]上有二阶导数，
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第六章 微分中值定理及其应用
3 泰勒公式练习题
(下载后用WORD 打开就能看到公式，谁知道怎么解决这个问题，加QQ12332954教我，谢谢~)
1、求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式. (1)f(x)=
√1+x
; (2)f(x)=arctanx 到含x 5的项; (3)f(x)=tanx 到含x 5的项.
解：(1)f ’(x)=2√(1+x)3, f ”(x)=
4√(1+x)5
, …, f (n)
(x)=
n 2n √(1+x)2n+1
.
∴f (n)(0)=
(−1)n (2n−1)!!
2n
,
∴√1+x
=1+(−12)x+3
4·2！x 2+…+(-1)n (2n−1)!!2n n!x n +o (x n ).
(2)∵f ’(x)=(1+x 2)-1, f ”(x)=-2x(1+x 2)-2,
f ”’(x)=-2(1+x 2)-2+8x 2(1+x 2)-3, f (4)(x)=24x(1+x 2)-3-48x 3(1+x 2)-4, f (5)(x)=24(1+x 2)-3-288x 2(1+x 2)-4+384x 4(1+x 2)-5.
∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=-2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=24. ∴arctanx=x −x 33
+x 5
5+o (x 5).
(3)∵f ’(x)=sec 2x, f ”(x)=2sec 2xtanx,
f ”’(x)=4sec 2xtan 2x+2sec 4x, f (4)(x)=8sec 2xtan 3x+16sec 4xtanx, f (5)(x)=16sec 2xtan 4x+88sec 4xtan 2x+16sec 6x.
∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=16. ∴tanx=x +x 33
+
2x 515
+o (x 5).
2、求下列极限. (1)lim
x→0
e x sinx−x(1+x)
x 3
; (2)lim x→∞[x −x 2ln (1+1x )]; (3)lim x→0
1x (1
x
−ctanx).
解：(1)∵e x
sinx =[1+x+x 22
+x 3
6
+o (x 3
)][x −x 36
+o (x 3
)]=x+x 2+x
3
3
−
x 512
−
x 636+o (x 3),
∴lim
x→0
e x sinx−x(1+x)
x 3
=lim
x→0
x 33−x 512−x 6
36
+o(x 3)x 3
=lim x→0(1
3
−
x 212
−
x 336
+
o(x 3)x 3
)=1
3.
(2)∵ln(1+1x
)=1x
−
1
2x
2
+o (1
x 2)， ∴lim x→∞
[x −x 2ln (1+1
x )]=lim x→∞
[x −(x −1
2
)+
o(1
x
2)
1x 2]=1
2.
(3)lim x→0
1x (1x
−ctanx)=lim
x→0
sinx−xcosx x 2sinx =lim
x→0
x−x 36+o (x 3)−x[1−x 22
+o (x 3)]x 2sinx
=lim x→0x
3
+o (x )sinx
=lim
x→0
x sinx (1
3
+o(x)x
)=1
3.
3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: (1)f(x)=x 3+4x 2+5, 在x=1处; (2)f(x)=
11+x
, 在x=0处.
解：(1)f ’(x)=3x 2+8x, f ”(x)=6x+8, f ”’(x)=6, f (n)(x)=0, (n ≥4). ∴f(1)=10, f ’(1)=3+8=11, f ”(1)=6+8=14, f ”’(1)=6, f (n)(1)=0, (n ≥4). ∴f(x)=10+11(x-1)+7(x-1)2+(x-1)3. (2)f ’(x)=−1(
1+x )2
, f ”(x)=2
(
1+x )3
,…, f (n)
(x)=(−1)n n!(
1+x )n+1
, f
(n+1)
(x)=
(−1)n+1(n+1)!(1+x )n+2
.
∴f(0)=1, f ’(0)=-1, f ”(0)=2,…, f (n)(0)=(-1)n n!, f (n+1)(0)=(-1)n+1(n+1)!. ∴f(x)=1-x+x 2
+…+(-1)n x n
+(−1)n+1
(1+θx
)n+2
x n+1
, (0<θ<1).
4、估计下列近似公式的绝对误差.
(1)sinx ≈x −x 3
6
, 当|x|≤1
2
; (2)√1+x =1+x
2
−x 2
8
, 当x ∈[0,1].
解：(1)sinx=x −x 36
+
x 5
sin(θx+5π
2)
120
, (0<θ<1).
∴公式的绝对误差：|R 4(x)|=|x 5sin(θx+
5π2
)120
|≤|x|5
120=13840, |x|≤1
2.
(2)√1+x =1+x
2−x 2
8+
3
16√(1+θx )5
, (0<θ<1).
∴公式的绝对误差：|R 2(x)|=|316√(1+θx )
5
|≤1
16, x ∈[0,1].
5、计算：(1)数e 准确到10-9; (2)lg11准确到10-5. 解：(1)∵e x
=1+x+x 22
+…x n n!
+
e θx x n+1
(n+1)!
, ∴e=1+1+12
+ (1)
n!+
e θ
(n+1)!
, (0<θ<1).
当|R n (x)|=|
e θ(n+1)!|<
3
(n+1)!
<10-9时，n ≥12 ，取n=12得
e ≈1+1+12
+…112!
=2.718281828.
(2)∵ln(x+1)=x −x 22
+x 33
−x 4
4+x 5
5(θx+1)5, (0<θ<1). ∴ln1.1=0.1−
0.122
+
0.133
−
0.14
4
+
0.155(0.1θ+1)5
≈0.0953.
∴lg11=1+lg1.1=1+lge ln1.1≈1+0.0953lge ≈1.04139. 其误差lg e
0.155(0.1θ+1)5
<10-5.。