求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求解二次规划问题的拉格朗
日及有效集方法
最优化方法课程实验报告
院：数学与统计学院
求解二次规划问题的拉格朗日
及有效集方法
摘要
二次规划师非线性优化中的一种特殊情形， 它的目标函数是二次实函数，约 束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划）， 并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题， 因此二次规划 的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。 二次规 划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一 般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
4.1拉格朗日方法的matlab程序
4.2有效集方法的Matlab程序
1
1.1
我们考虑如下的二次规划问题
[■.1T口T
min -x Hx+c x,z>八\2(1.1)is.t. Ax = b
其中对称正定，R^^行满秩，c,x亡Rn，b亡wenku.baidu.comm
1.2
1.2.1
=2.
解容易写出
-Bt"
r1n0nxm
[-A
0
[—B
C
|_0mxi1m”
HG+ATB = ln
— AG=0m河
—HBt-AtC=0恤
ABt=lm.
于是由上述四个等式得到矩阵G, B, C的表达式
11 T1 T 11
G =H--H A (AH A ) AH
4 T 4A.
B =(AH A ) AH ,
C = -(AH °AT)°
则线性方程组(1.4)的系数矩阵非奇异，即方程组(1.4)有唯一解。其中，方程 组(1.4)为(1.1)对应的齐次方程组：
下面，我们来推导方程 是非奇异的，
故可设其逆为
由恒等式
可得
LHa
(1.3)
叮/0(1'4)-
的求解公式。根据定理1,拉格朗日矩阵必然
-At
0
Tg -bt
/i-B C
〔H
-at「
〔G
gk=Nf(Xk)=HXk中c，利用Xk
和gk，可将(1.8)改写为
[x[_ [xk-GgkL^j"iBgk.
(1.9)
1.2.2
(1)拉格朗日方法的Matlab程序见附录。
(2)利用拉格朗日方法求解下列问题：
min
s.t.
2 2 2
Xr+2x2+X3-2x1X2+X3,
x^i+X2+X3= 4,
2X1—X2+X3
首先写出拉格朗日函数:
1
L(x,A) = —xtHx+cTx —A(Ax-b)，(1.2)
2
jL(x,k)=0,J丄(x,Q=0，
得到方程组
Hx - A冬=-c,
-Ax = -b.
将上述方程组写成分块矩阵形式:
〔H[-A
我们称伤处方程组的系数矩阵
-at-
0
足二阶充分条件，即
dTHdaOM5,d工O,Ad=0,
因此，由(1.3)可得解得表达式
ELF-叮〔"
0」B「
「-Gc+BTb]Cj[-b」[Bc-Cb」
其中，G, B,C分别由(1.5),(1.6),(1.7)给出。
(1.5)
(16)
(1.7)
(1.8)
F面给出X和几的另一种等价表达式。设xk是问题(1.1)的任一可行点，即
Xk满足AXk =b。而在此点处目标函数的梯度为
日及有效集方法
最优化方法课程实验报告
院：数学与统计学院
求解二次规划问题的拉格朗日
及有效集方法
摘要
二次规划师非线性优化中的一种特殊情形， 它的目标函数是二次实函数，约 束函数都是线性函数。由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划）， 并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题， 因此二次规划 的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。 二次规 划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一 般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
4.1拉格朗日方法的matlab程序
4.2有效集方法的Matlab程序
1
1.1
我们考虑如下的二次规划问题
[■.1T口T
min -x Hx+c x,z>八\2(1.1)is.t. Ax = b
其中对称正定，R^^行满秩，c,x亡Rn，b亡wenku.baidu.comm
1.2
1.2.1
=2.
解容易写出
-Bt"
r1n0nxm
[-A
0
[—B
C
|_0mxi1m”
HG+ATB = ln
— AG=0m河
—HBt-AtC=0恤
ABt=lm.
于是由上述四个等式得到矩阵G, B, C的表达式
11 T1 T 11
G =H--H A (AH A ) AH
4 T 4A.
B =(AH A ) AH ,
C = -(AH °AT)°
则线性方程组(1.4)的系数矩阵非奇异，即方程组(1.4)有唯一解。其中，方程 组(1.4)为(1.1)对应的齐次方程组：
下面，我们来推导方程 是非奇异的，
故可设其逆为
由恒等式
可得
LHa
(1.3)
叮/0(1'4)-
的求解公式。根据定理1,拉格朗日矩阵必然
-At
0
Tg -bt
/i-B C
〔H
-at「
〔G
gk=Nf(Xk)=HXk中c，利用Xk
和gk，可将(1.8)改写为
[x[_ [xk-GgkL^j"iBgk.
(1.9)
1.2.2
(1)拉格朗日方法的Matlab程序见附录。
(2)利用拉格朗日方法求解下列问题：
min
s.t.
2 2 2
Xr+2x2+X3-2x1X2+X3,
x^i+X2+X3= 4,
2X1—X2+X3
首先写出拉格朗日函数:
1
L(x,A) = —xtHx+cTx —A(Ax-b)，(1.2)
2
jL(x,k)=0,J丄(x,Q=0，
得到方程组
Hx - A冬=-c,
-Ax = -b.
将上述方程组写成分块矩阵形式:
〔H[-A
我们称伤处方程组的系数矩阵
-at-
0
足二阶充分条件，即
dTHdaOM5,d工O,Ad=0,
因此，由(1.3)可得解得表达式
ELF-叮〔"
0」B「
「-Gc+BTb]Cj[-b」[Bc-Cb」
其中，G, B,C分别由(1.5),(1.6),(1.7)给出。
(1.5)
(16)
(1.7)
(1.8)
F面给出X和几的另一种等价表达式。设xk是问题(1.1)的任一可行点，即
Xk满足AXk =b。而在此点处目标函数的梯度为