矩阵的初等变换

E(i,
j(k))A =
1
k
Ai Ai kAj
=
1
Aj
Aj
1 Am Am
h
24
三、初等变换法求逆矩阵
定理5
可逆矩阵经过初等行变换得到的简化阶
梯形矩阵是同阶单位矩阵。
A 可 逆 A 或 初 初 等 等 行 列 变 变 换 换 E
推论1. A 可 逆 A 与 E 等 价
14 14
2X 1 1
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
h
30
例3
h
19
定理4（左行右列原则）
对一个m×n阶矩阵A施行一次初等行变换，相当于用一
个相应的m阶初等矩阵左乘A ；对矩阵A施行一次初等列变换，
相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘A。
h
20
证明：（只证行变换的情形，列变换与此类似）
对 A 作 行 的 换 法 变 化 相 当 于 用 Em(i,j)左 乘 A ； 对 A 作 行 的 倍 法 变 化 相 当 于 用 Em(i(k))左 乘 A ； 对 A 作 行 的 消 法 变 化 相 当 于 用 Em(i,j(k))左 乘 A 。
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A E ,
及 P l 1 P l 1 1 P 1 1 E A 1 ,
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A ,E
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A , P l 1 P l 1 1 P 1 1 E
h
25
推论2. A 可 逆 A 可 以 表 示 成 一 系 列 初 等 矩 阵 的 乘 积
推论3.
m n 阶 矩 阵 A 、 B 等 价 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P ， n 阶 可 逆 矩 阵 Q ， 使 得 P A Q B
h
26
当 A 0 时A ， P 1 P 2 P 由 l ，有
定理1. 初等变换不改变矩阵的可逆性。
h
5
6
7
（Ⅲ）标准形矩阵
1
Er O
O O
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1 0
h
0
8
定理2. 任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可化为阶 梯形矩阵，再经过若干次初等行变换可变为简化阶梯形 矩阵。
定理3. 任意一个矩阵可经过若干次初等变换化为标准形 矩阵。
定义3. 若矩阵A经过有限次初等变换变成标准形矩阵D， 则称D为矩阵A的等价标准形。
1
E (i, j)
1
0
1
1
第i 行
1
1
0 1
第j 行
1
h
14
（2）倍法变换
以k数 0 乘单位i行 矩 (rik 阵 ),得 的 初 第
矩阵
1
E ( i ( k ))
1 k
第i 行
1
1
h
15
（3）消法变换
以 k乘 E的j第 行加i行 到(上 第 ri kjr )
E ,A 1
(A ,E ) 初 等 行 (E 变 ,A 1 换 ).
h
27
例1
1 2 2
设A
2 1
1 1
23，求A1.
h
28
矩阵方程
A X B X A B AX C B
解
XA1B XBA 1 X A 1 C B 1
h
29
例2
解 矩 1 阵 1 5 方 X 3 程 2 ;
1 0 0
h
17
性质：1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。
E(i,j)T E(i,j) E(i(k))T E(i(k))
E (i,j(k))TE (j,i(k))
h
18
2）初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。
E (i,j) 1E (i,j) E (i(k) )1E (i(k 1)) E ( i,j( k ) 1 ) E ( i,j( k ))
h
9
0 0 1 1 2
A
1
4
1 0
2
1 4 2 1 0
0
0
0
1
2
行变换：①先将前面元素为0的往下挪，前面元素为1的往 上挪；
②从上往下将首非零元下面的元素变为0；
——阶梯形矩阵
h
10
③将首非零元变为1； ④从下往上将首非零元上方的元素变为0； ——简化阶梯形矩阵 列变换：⑤利用首非零元将同行其他元素化为0； ⑥零列移到右边。 ——等价标准形
将矩阵A按行分块，则有
h
21
1
E(i,
j)A
=
0
1
1
0
h
A1 A1
Ai Aj
=
Aj
Ai
1 Am Am
22
1
A1 A1
E(i(k))A=
k
Ai
=
kAi
1 Am Am
h
23
1
A1 A1
h
11
二、初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？ A B, 如何把它们用等号联系起来？
h
12
定义4 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
记号
Eri rj E(i, j)
E k ri E(i(k))
Eri krj E(i, j(k))
h
13
（1）换法变换
对 调 E 中 第 i , j 两 行 ， 即 ( r i r j ) ， 得 初 等 矩 阵
第二章
矩阵
h
1
第5节 矩阵的初等变换
h
2
一、初等变换
定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换:
（1）互换矩阵的两行——换法变换
ri r j
（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行——倍法变
换
k ri
（3）将矩阵某一行的k倍加到另一行上去——消法变
换
ri k r j
h
3
矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换。
初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．
ri rj 逆变换
k r i 逆变换 ri krj 逆变换
ri rj;
1 k
ri;
r i ( k )r j或 r i kj.r
h
4
定义2 若矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵A、B等价。
等价关系的性质： （1）反身性 A与A等价 （2）对称性 若A与B等价，则B与A等价 （3）传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价
或k 以 乘 E的i第 列 加j到 列(第 上 cj kic )
得到初等矩阵
1
E ( ij ( k ))
1 k
第i行
1
第j行
1
h
16
问: 以下矩阵是否初等矩阵?
0 1 0 (1) A 1 0 0
0 0 1
1 0 1 (2) A 1 1 0
0 0 1
0 0 1 (3) A 0 1 0