矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
矩阵初等变换初等行变换：（1）对调两行（对调,i j 两行，记作i j r r ↔）（2）以数0k ≠乘某一行中所有元素（第i 行乘k ，记作i r k ⨯）（3）把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的k 倍加到第i 行上，记作i j r kr +）初等列变换：把上面的行变成列，即得初等矩阵列变换的定义。
初等变换：矩阵的初等行变换和初等列变换。
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换： （1） 变换i j r r ↔的逆变换是其本身；（2） 变换i r k ⨯的逆变换为1i r k⨯（记作i r k ÷）；（3） 变换i j r kr +的逆变换为()i j r k r +-（记作i j r kr -）。
矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 行等价；矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 列等价；矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 等价，记作AB 。
矩阵4B 和5B 都为行阶梯矩阵，其特点是：线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的个数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
行阶梯矩阵5B 还称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。
对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成形状更简单的矩阵，成为标准形。
矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是，F的左上角是一个单位阵，其余元素全为0。
----------------------------------------------分割线-------------------------------------------------归纳上面的讨论，可得：矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩。
线性方程组的解。
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
第五节 矩阵的初等变换
第五节 矩阵的初等变换一：矩阵的初等变换与初等矩阵（一）定义1；定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换1）对换矩阵A 的i ，j 两行，记作j i r r ↔ （获得的矩阵记作)(j i r r A ↔），称为对换；2）用数0≠k 乘矩阵的第i 行，记作i kr （获得的矩阵记作)(i kr A ），称为倍乘；3）把矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上去，记作i j kr r +（获得的矩阵记作)(i j kr r A +）， 称为倍加。
类似地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为（4）j i C C ↔获得的矩阵记作)(j i C C A ↔）（5）i kC （获得的矩阵记作)(i kC A ）（6）i j kC C +（获得的矩阵记作)(i j kC C A +初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。
2：定义2；若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。
3：定义3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等行变换对应着三种初等矩阵（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行j i r r ↔，所得初等矩阵记为)(j i r r E ↔例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=↔001010100)(313r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行i kr ，所得初等矩阵记为)(i kr E例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001)2(33r E3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上i j kr r +，所得初等矩阵记为)(i j kr r E +，例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+100010031)3(213r r E注：三种初等列变换也对应着三种初等矩阵，易知（1）)(j i r r E ↔=)(j i C C E ↔（2）)(i kr E =)(i kC E （3）)(i j kr r E +=)(j i kC C E +故同一个初等矩阵既可以由一次初等行变换获得也可以由一次初等列变换获得。
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。
常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。
2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。
3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。
矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。
2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。
3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。
4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。
5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。
总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
2.1.矩阵的初等变换
0 1 1 1 0 1 1
2 3 0 5 1 1 2 3 2 1 1 0 1 3 6 1 4 0 3 3 7 1
1
解
A
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 5
1 A 1 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 10 0
3 1
例7 设 A 为 m n 矩阵, 证明:
r ( A) r m r 矩阵 P , r ( P ) = r r n 矩阵 Q , r ( Q ) = r
定理 初等变换不改变矩阵的秩
推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为 Er O O O 推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形 矩阵) 为单位矩阵
求矩阵的秩的方法 将矩阵化为阶梯形矩阵 阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩
例 2 求矩阵 A 的秩
A
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 2 5 3 6
初等行变换
例5 用初等变换法解矩阵方程
3 1 5 8 3 0 X 1 3 2 5 2 5 9 0 1
分析 设原方程为 XA B
则
A X B
A PQ
证
例4 用初等变换法解矩阵方程
解 5 1 5 3 3 2 1 2 1
5 1 5 8 5 9 3 3 2 X 3 1 2 1 0 0
8 5 3 9 0 0 1 4 X 2 5 3 6
线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
矩阵的初等变换
m n 矩阵A,B
1)A ~ B 可逆阵Pmm , 使PA B 2)A ~ B 可逆阵Pnn , 使AP B 3) A ~ B 的充要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使 PAQ B.
推论 : A可逆 A ~ E,
r
c
-5 3 1 例1 设A= , 求可逆阵P,使 2 -1 1 PA为行最简形.
初等方阵的逆及行列式
E(i, j)1 E(i(k))
1
E(i, j)
1 E(i( )) k
. ; .
E(i, j) | | E(i(k)) |
-1
; ; .
k
| E(i, j(k)) | 1
a11 a 21 例4 设A= a 31 a 41 0 0 0 0 1 0 P1 0 0 1 1 0 0
1 如上例中,A可化为 0 F 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零. m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为标准形
Er O F O O m n 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
a13 a 23 a 33 a 43
a12 a 22 a 32 a 42
a11 a 21 a 31 a 41
其中A可逆, 则B 1 __ A)A 1P1P2 ; B)P1A 1P2 ; C)P1P2 A 1; D)P2A 1P1
3.初等变换求逆 converse matrix by elementary operation 性质1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
2.5 矩阵的初等变换
AX B
2 2 1 0 1 , 1
，其中
0 B 1 1 1 3 1
一个求逆矩阵的方法
作 n 2n 矩阵（A，E）用初等行变换把左边一半变成E， 这时，右边的一半就是 A 1 。 即
( A, E) 初等行变换 ( E, A1 )
例2 用初等行变换求矩阵
1 A 1 1
的逆矩阵
0 2 2
1 0 1
例3 解矩阵方程
1 0 0 0 1 2 1 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 3 0
1 0 0
1 0 0
1 1 0
1 0 1
1 2 1
定义4 称一个矩阵是简单阶梯形矩阵，是指它满足如下三个条件：
（1）它是阶梯形的； （2）每一个非零行的第一个非零元均是1； （3）每个非零行的第一个非零元所在列的其它元素都是零
特别，令 B E(ri , r j ) ，得
A1 A j (第 i 行) E (ri , r j ) A Ai (第 j 行) Am
这就相当于 把A的第i行与 第j行互换。
令 B E (kri ) 得
第五节 矩阵的初等变换
2.5.1 矩阵的初等变换与初等矩阵
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
（1）对换矩阵的 i, j 两行，记作 ri r，称为对换； j
（2）用数 k 0乘矩阵的第i行，记作 kri ，称为倍乘； （3）把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去，记作 r j kri ， 称为倍加。 类似地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为
矩阵的初等变换
1 5
r3
rr1262rr33
1 0 0
0 1 0
0
0
．
1
1.1 矩阵的初等变换概念
定理2
任意一个矩阵 Amn ，都能经过有限次初等变换变成标准形矩阵。
例题
2 1 2 3
例2
将矩阵
A
4
1
3
5
化为标准形。
2 0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 3
2 0 1 2
解：
A
4
2
1 0
(E(i ，j))1 E(i ，j) ；(E(i(k)))1 E(i(k1)) ；(E(i ，j(k)))1 E(i ，j(k)) ． 性质 2 初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵，即
(E(i ，j))T E(i ，j) ；(E(i(k)))T E(i(k)) ；(E(ri krj ))T E(rj kri ) ． 性质 3 对一个矩阵 Amn 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘一个相应的 m 阶初等 矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A 右乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
线性代数
1.1 矩阵的初等变换概念
定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换． （1）交换矩阵中的第 i 行（列）与第 j 行（列）的元素，记作 ri rj 或 ci cj ； （2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列），记作 kri 或 kci ； （3）矩阵的第 j 行（列）元素的 k 倍加到第 i 行（列）对应元素上，记作 ri krj 或 ci kcj ．（注意：第 j 行（列）的元素并没有改变。） 矩阵的初等行或列变换统称为初等变换。
1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1
第六节 矩阵的初等变换
(3)、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行(列)上去 将矩阵E的第 的第j行 倍加到第 倍加到第i行上 将矩阵 的第 行k倍加到第 行上( ri + krj ), 得到初等矩阵
1 O ←第i 行 1 L k P ( i , j ( k )) = O M ←第 j 行 1 O 1 P ( i , j ( k )) 也是矩阵 的第 列k倍加到第 列上 也是矩阵E的第 的第i列 倍加到第 倍加到第j列上
22
三. 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系 观察
6
特征： 特征： ）、可划出一 （1）、可划出一 ）、 条阶梯线， 条阶梯线，线的 下方全为零； 下方全为零； （2）、每个台阶 ）、每个台阶 ）、 上只有一行， 上只有一行，
如
1 0 0 0 4 2 −1 −6 3 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 5 −1
（第 i 行乘 k , 记 作 ri × k 或 kri）
(3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（ 对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 . 记作 ri + kr j）
同样的,也可对矩阵的列实行如上三种变换. 同样的 也可对矩阵的列实行如上三种变换 也可对矩阵的列实行如上三种变换
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
14
５. 矩阵的标准型 定义： 定义： 形如
Or×( n− r ) Er D= O O( m − r )×( n− r ) ( m − r )×r m× n 的矩阵，称为矩阵的标准型 矩阵的标准型， 的矩阵，称为矩阵的标准型，简记为
kr
rj + kri
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
2.3 矩阵的初等变换
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0
16
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零.
定理2.3.2 m n 矩阵A 总可经过初等变换化为 标准形
Er F O O O m n
此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定，其中 r 就是行阶梯形 矩阵中非零行的行数. 推论：如果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A经过有限次初等变 换可化为单位矩阵E，即A E .
19
1、 对调两行或两列 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
r2 r3 1
1 2
1
1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 B 4 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.
1 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 B 5 0 0 1 3 0 0 0 0
1 1 1
4 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
证明
(AA E ,
1 1 1 1
( AB) 1 B 1 A1
1
1
1 1 A . A
10
§2.3 矩阵的初等变换与 矩阵的秩
4 r2 2 0 2 2 2 0 r3 2r1 B r3 5r2 2 0 5 5 3 6 r4 3r1 r4 3r2 0 3 3 4 3 1 1 2 1 4 r3 r4 0 1 1 1 0 r1 r2 B 4 0 0 0 1 3 r4 2r3 r2 r3 0 0 0 0 0 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵.
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1
E (i, j)
1
0
1
1
第i 行
1
1
0 1
第j 行
1
h
14
（2）倍法变换
以k数 0 乘单位i行 矩 (rik 阵 ),得 的 初 第
矩阵
1
E ( i ( k ))
1 k
第i 行
1
1
h
15
（3）消法变换
以 k乘 E的j第 行加i行 到(上 第 ri kjr )
初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．
ri rj 逆变换
k r i 逆变换 ri krj 逆变换
ri rj;
1 k
ri;
r i ( k )r j或 r i kj.r
h
4
定义2 若矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵A、B等价。
等价关系的性质： （1）反身性 A与A等价 （2）对称性 若A与B等价，则B与A等价 （3）传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价
14 14
2X 1 1
1 1
1 1 02
2 0
3 4;
2 1 1 0 1 5
h
30
例3
h
25
推论2. A 可 逆 A 可 以 表 示 成 一 系 列 初 等 矩 阵 的 乘 积
推论3.
m n 阶 矩 阵 A 、 B 等 价 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P ， n 阶 可 逆 矩 阵 Q ， 使 得 P A Q B
h
26
当 A 0 时A ， P 1 P 2 P 由 l ，有
h
19
定理4（左行右列原则）
对一个m×n阶Байду номын сангаас阵A施行一次初等行变换，相当于用一
个相应的m阶初等矩阵左乘A ；对矩阵A施行一次初等列变换，
相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘A。
h
20
证明：（只证行变换的情形，列变换与此类似）
对 A 作 行 的 换 法 变 化 相 当 于 用 Em(i,j)左 乘 A ； 对 A 作 行 的 倍 法 变 化 相 当 于 用 Em(i(k))左 乘 A ； 对 A 作 行 的 消 法 变 化 相 当 于 用 Em(i,j(k))左 乘 A 。
h
11
二、初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？ A B, 如何把它们用等号联系起来？
h
12
定义4 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
记号
Eri rj E(i, j)
E k ri E(i(k))
Eri krj E(i, j(k))
h
13
（1）换法变换
对 调 E 中 第 i , j 两 行 ， 即 ( r i r j ) ， 得 初 等 矩 阵
或k 以 乘 E的i第 列 加j到 列(第 上 cj kic )
得到初等矩阵
1
E ( ij ( k ))
1 k
第i行
1
第j行
1
h
16
问: 以下矩阵是否初等矩阵?
0 1 0 (1) A 1 0 0
0 0 1
1 0 1 (2) A 1 1 0
0 0 1
0 0 1 (3) A 0 1 0
1 0 0
h
17
性质：1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。
E(i,j)T E(i,j) E(i(k))T E(i(k))
E (i,j(k))TE (j,i(k))
h
18
2）初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。
E (i,j) 1E (i,j) E (i(k) )1E (i(k 1)) E ( i,j( k ) 1 ) E ( i,j( k ))
将矩阵A按行分块，则有
h
21
1
E(i,
j)A
=
0
1
1
0
h
A1 A1
Ai Aj
=
Aj
Ai
1 Am Am
22
1
A1 A1
E(i(k))A=
k
Ai
=
kAi
1 Am Am
h
23
1
A1 A1
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A E ,
及 P l 1 P l 1 1 P 1 1 E A 1 ,
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A ,E
P l 1 P l 1 1 P 1 1 A , P l 1 P l 1 1 P 1 1 E
E ,A 1
(A ,E ) 初 等 行 (E 变 ,A 1 换 ).
h
27
例1
1 2 2
设A
2 1
1 1
23，求A1.
h
28
矩阵方程
A X B X A B AX C B
解
XA1B XBA 1 X A 1 C B 1
h
29
例2
解 矩 1 阵 1 5 方 X 3 程 2 ;
定理1. 初等变换不改变矩阵的可逆性。
h
5
6
7
（Ⅲ）标准形矩阵
1
Er O
O O
1 0
h
0
8
定理2. 任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可化为阶 梯形矩阵，再经过若干次初等行变换可变为简化阶梯形 矩阵。
定理3. 任意一个矩阵可经过若干次初等变换化为标准形 矩阵。
定义3. 若矩阵A经过有限次初等变换变成标准形矩阵D， 则称D为矩阵A的等价标准形。
h
9
0 0 1 1 2
A
1
4
1 0
2
1 4 2 1 0
0
0
0
1
2
行变换：①先将前面元素为0的往下挪，前面元素为1的往 上挪；
②从上往下将首非零元下面的元素变为0；
——阶梯形矩阵
h
10
③将首非零元变为1； ④从下往上将首非零元上方的元素变为0； ——简化阶梯形矩阵 列变换：⑤利用首非零元将同行其他元素化为0； ⑥零列移到右边。 ——等价标准形
E(i,
j(k))A =
1
k
Ai Ai kAj
=
1
Aj
Aj
1 Am Am
h
24
三、初等变换法求逆矩阵
定理5
可逆矩阵经过初等行变换得到的简化阶
梯形矩阵是同阶单位矩阵。
A 可 逆 A 或 初 初 等 等 行 列 变 变 换 换 E
推论1. A 可 逆 A 与 E 等 价
第二章
矩阵
h
1
第5节 矩阵的初等变换
h
2
一、初等变换
定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换:
（1）互换矩阵的两行——换法变换
ri r j
（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行——倍法变
换
k ri
（3）将矩阵某一行的k倍加到另一行上去——消法变
换
ri k r j
h
3
矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换。