含参变量无穷积分的一致收敛性

含参变量无穷积分的一致收敛性

论文摘要：本文通过含参变量无穷积分与函数级数之间的关系，归纳总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法(柯西一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法等)及其性质.

关键词：含参变量无穷积分一致收敛判别法

无穷积分⎰+∞

a

dx

x

f)

(与级数∑∞

=1

n

n

u的敛散概念、敛散判别法及其性质基本上

是平行的，不难想到，含参变量无穷积分⎰+∞

a

dx

y

x

f)

,

(与函数级数()

∑∞

=1

n

n

x

u之间

亦应如此，为了讨论函数项级数的和函数的分析性质,我们在收敛区域I上提出了更高的要求,引进了一致收敛的概念,同样,在讨论含参变量无穷积分所确定的函数的分析性质时,一致收敛同样也起着重要的作用.因此,含参变量无穷积分的一致收敛性是《数学分析》中非常重要的知识点，也是学生不容易掌握的难点，从而,我试着类比、总结得出含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法及其性质，以便使学生对此有一个更为系统和深刻的了解.

1.含参变量无穷积分一致收敛的判别法

我们很自然的可以想到运用定义来证明.

定义 设∀∈y 区间I ,无穷积分

()⎰+∞

a

dx y x f ,收敛,若∀ε

>0,0A ∃(通

用)>0,∀0A>A ,有|

(,)(,)A

a

a

f x y dx f x y +∞

-⎰

⎰dx |=|

(,)A

f x y dx +∞

⎰

|ε<,则称无穷积分

()⎰+∞

a

dx y x f ,在区间I 一致收敛.

用定义证明一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ，方法常常是采取适当放大的方法.

例 1[]

1证明：无穷积分dx ye xy ⎰+∞

-0

在区间[a ，+∞]（a >0）一致收敛，而

在（0，+∞）上非一致收敛.

证明 Ay Ay

t A

xy

e dt e xy t dx y y -+∞

-+∞

-==+∞∈∀⎰⎰令ε

),

,0(，

对,0>∀ε解不等式ε<-Ay e ，有y

A ε1

ln

>

,取y

A ε1

ln

=

，则0

A A >∀，有

ε<⎰+∞

-A

xy

dx ye

，因此，dx ye A

xy ⎰+∞

-在（0，+∞）是收敛的，但不能断定是一致

收敛的，因为我们所找到的0A 不仅跟ε有关，而且与),0(+∞∈y 有关. 事实上，dx ye A

xy ⎰+∞

-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的，只需取=

εe

21

，,0>∀A 取),0(21

,2'

'

+∞∈=>=A y A A A ，则01''''ε>==---⎰e e dx e y y A xy ，但dx ye A

xy ⎰+∞

-在),[+∞a 一致收敛（其中0>a ），由不等式： y a ≥,有Ay Aa e e --≤,解不等式

Aa e ε-<,有1

ln

A a

ε>

,于是取y

A ε1

ln

=

，0

A A >时，对一切[)+∞∈,a y ,有

ε<≤=--+∞

-⎰Aa Ay A

xy e e dx ye ，所以， dx ye A

xy ⎰+∞

-在),[+∞∈a y （其中0>a ）一致收敛. 此题中，我们还可以计算出

dx ye xy

⎰+∞

-0

在),0(+∞上的收敛值.事实上，对任意),0(+∞∈y ，都有ξξ

y xy e dx ye ---=⎰10

，

所以,1)1(lim lim

=-=-+∞

→-+∞

→⎰ξξξ

ξy xy

e dx ye

，

即dx ye xy ⎰+∞

-0

在（0，+∞）收敛于1.

定理 1[]

2（柯西一致收敛准则）无穷积分

dx y x f a

⎰+∞

),(在区间I 一致收敛

∃>∀⇔,0ε0A ,0>1A ∀0A >与有,,02I y A A ∈∀>

ε<⎰2

1

),(A A dx y x f .

定理 2[]3（魏尔斯特拉斯 M 判别法）若I y B x B ∈∀>∀>∃,,0，有 ),(),(y x F y x f ≤, 且无穷积分()dx y x F a ⎰+∞

,收敛，则无穷积分

()⎰+∞

a

dx y x f ,在区间I 一致收敛.

该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法，但这种方法

有一定 的局限性：凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛，此无穷积分必然是绝对收敛；如果无穷积分时候一致收敛，同时又是条件收敛，那么就不能用定理2来判别。对于这种情况，我介绍如下定理：

定理 3[]2 若函数),(y x f 在 区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续，且

dt y t f y x F x

a

⎰=),(),(在D 有界，即,),(,0D y x C ∈∀>∃

有 C dt y t f y x F x

a

≤=

⎰

),(),(,则当0>λ时，无穷积分

dx x

y x f a

⎰

+∞

λ

)

,(. 在区间I 一致收敛.

例 2 证明：无穷积分dx x

x

e xy

sin 0⎰+∞

-在区间[),0+∞一致收敛。 证明 只需注意：令tdt e y x F x

yt sin ),(1

⎰-=,

)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 有)(01)1(2),(2

+∞→→++≤

-y e y y y x F y

. 类似于魏尔斯特拉斯 M 判别法有如下定理： 定理 4

[]

4设

dx y x g a

⎰+∞

),(在区间I 一致收敛，有存在0>L ,使当a x ≥与

I y ∈时，恒有),(),(y x Lg y x f ≤成立，且当a >ξ时，对任意),(,y x f I y ∈均

关于x 在[]ξ,a 上可积，则dx y x g a

⎰+∞

),(关于时y 在I 一致收敛且绝对收敛.

例 3 设,1,0>>p a 又存在0>L ，使当I y a x ∈≥,时，恒有p x

L

y x f ≤

),( 成立，且当a >ξ时，对任意),(,y x f I y ∈均关于x 在[]ξ,a 上可积，试证