矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

第一章 误差分析与向量与矩阵的范数

一、内容提要

本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念

设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x a

x -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所

以常把a a

x -作为a 的相对误差．

2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念

设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤-

称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称

a

e a

是a 的相对误差界．

此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．

3）．有效数字

设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成

n k a a a a 21.010⨯±=

它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1( =i a i 是9,,1,0 中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果

n k a x -⨯≤

-102

1

则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．

如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-11

1021

。 4）．函数计算的误差估计

如果),,,(21n x x x f y =为n 元函数，自变量n x x x ,,,21 的近似值分别为n a a a ,,,21 ，则

)(),,,(),,,(12121k k n k a

k

n n a x x f

a a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂≈-∑= 其中),,,(21n k

a

k a a a f x x f ∂∂=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k a

k

a n n e x f

e a a a

f x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,( 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为1

11a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，

取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，

1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；2

2

211

12

1a e a e a e a a a a +≈

，02≠a 。

数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高． 对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：

2

12

12121a a e e a a e a a a a -+≈

-±。

如果1x 和2x 是两个十分接近的数，即1a 和2a 两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值21a a -的有效数字的位数将会很少。

对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：2

2

211

12

1a e a e a e a a a a +≈

。

从关系式中可以看出，如果2x 很小，即2a 很小，计算值2

1

a a 的误差可能很大。 5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则

⑴ 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。

⑵ 在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。 ⑶ 在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。 ⑷ 注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。

⑸ 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。 2．向量和矩阵范数

把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。

范数的主要的应用：

一、研究这些矩阵和向量的误差估计。

二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。

1）向量范数

定义 存在n

R （n 维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为x x f =)(，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x 和y 以及任意常数R ∈α（实数域）

（1）非负性 0≥x ，并且0=x 的充分必要条件为0=x ; （2）齐次性

x x αα=；

（3）三角不等式y x y x +≤+． 则称函数

⋅

为n

R 上的一个向量范数．

常用三种的向量范数

设任意ｎ维向量T n x x x ),,,(21 =x ，（T

x 为向量x 的转置），

∑==n

i i x 1

1x ， 向量的1-范数

()21

,2

1

122x x x x x x =⋅=

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=∑=T n i i ， 向量的2-范数

i n

i x x

≤≤∞

=1max ， 向量的∞-范数

一般情况下，对给定的任意一种向量范数⋅，其加权的范数可以表为

x x W W =，

其中W 为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。

向量范数的连续性定理 n

R 上的任何向量范数x 均为x 的连续函数。 向量范数的等价性定理 设α⋅和β

⋅

为n

R 上的任意两种向量范数，则存在两个与向量x 无关的正常数c 1和c 2，使得下面的不等式成立

βα

β

x x

x

21c c ≤≤，其中n x R ∈∀.

2). 矩阵范数 定义 存在n

n ⨯R （n n ⨯维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为A A f =)(，对任意的A,n

n ⨯∈R

B 均满足以下条件：

（1）非负性：对任意矩阵A 均有0≥A ，并且0=A 的充分必要条件为O A =;