《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

第六章 刚体的基本运动 习题全解

[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：

角速度： 2

394)34(t t t dt d dt

d -=-==ϕω 角加速度：t t dt

d

dt

d 18)94(2

-=-==

ωα

速度： )94(2t r r v -==ω

)/(2)094(5.0|2

0s m r v t =⨯-⨯===ω )/(5.2)194(5.0|2

1s m v t -=⨯-⨯== 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：2

22

22

)94()]

94([t r r

t r v

a n -=-=

=ρ

加速度： 4

222

2

2

2

2

2

)94(324]

)94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=

+=

)/(8165.0)094(0324|2

4

2

2

0s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|2

4

2

2

1s m r a t =⨯=⨯-+⨯==

物体改变方向时，速度等于零。即：

0)94(2

=-=t r v )(667.0)(3

2s s t ==

[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以

)/(1.02

s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及

ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解：

t dt

d a t 1.04.02

2

-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）

t dt d 25.022

-=ϕ 12

125.0C t dt

d +-=ϕ

2130417.0C t C t ++-=ϕ

12

124.005.0)125.0(4.0C t C t dt

d R

v +-=+-⨯==ϕ

104.0005.0|12

0=+⨯-==C v t

图

题46-251=C

0000417.0|213

0=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为：

t t 250417.03

+=ϕ

t t t t R s 100167.0)250417.0(4.03

3+-=+-==ϕ

速度方程：1005.02

+-=t v

)/(8.910205.0|2

2s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|2

2s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：2

22

)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω

)/(1.240)252125.0(4.0|2

2

2

2s m a t n =+⨯-⨯==

[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟后，转子的角加速度为)/(600s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？

解：kt dt

d ==

ωα

12

2

C kt +=

ω 0

2

0|12

0=+⨯=

=C k t ω

01=C

2

2

kt =ω

π

ω6002300

|2

300=⨯=

=k s t

75

300

60022

π

π=

⨯=

k

150

2

2

2

t

kt πω=

=

150

2

t

dt

d πϕ=

23

3

150C t

+=

πϕ 03

150|23

0=+=

=C t π

ϕ

02=C

450

3

t

πϕ=

ππϕ60000450300

|3

300=⨯==s t ， 转数)30000260000N r （＝＝

π

π

[习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆

m AB 8.0=，

Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=ϕ。求运动过程中角ϕ与时间的关系。并求点Ｂ的轨迹方程。 解： ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。

05.0=⋅==ωOA v v B A 05.05.1=⋅ω

30

15.1/05.0=

=ω