第八章多采样率数字信号处理

4fs v 内差的频谱解释： (n)
f s x(n)
L
high rate
h (n)
high rate
4fs y (n)
DTFT y( n) Y (e jω y
x( n / L) , n 0, L,2 L..... v ( n) 0 , n为其它值
)
DTFT x( n) X (e jωx )
M
L fs M
由于插值后的低通滤波器和抽取前级联的防混叠低通 滤波器所处理的抽样信号都是Lf s ，因可以合并。
x ( n)
L
v ( n)
u( n)
y( n)
h (n)
M
H (e
jωv
L, ) 0 ,
| ωv | min[ π / L, π / M ] others
ωx ωv 2πf / f v 2πf / Lf s L
y(2)
x ( n)
h(0) {x(n), x(n 3), x(n 6)..}
3
z 1
y ( n)
M=3 N=9
h(1) {x(n 1), x(n 2), x(n 5)..}
3
z 1
h(7) {x(n 7), x(n 4), x(n 1)..}
3
z 1
h(8) {x(n 8), x(n 5), x(n 2)..}
H (e ) 0 其它
v ( n)
x ( n)
h (n)
M
y(n) x' (n)
为了看出y (n)与x (n)频谱间的关系，对抽取后的序列y (n)的z变换：
1 Y (z ) M
M 1
y( n) Y (e
M 1 k 0
k 0 DTFT
k 1/ M k 1/ M z ) H (WM z ) X (WM
3
y ( n)
M 1

i 0 q
h( Mq i )x[ M ( n q ) i ]
h( Mq) x[ M ( n q )] h( Mq 1) x[ M ( n q ) 1].... h( Mq M 1) x[ M ( n q ) M 1]
z 1
3
h(1)
z 3
h(4) h(7 ) h(2)
z 3
3
z 3 z 3
h(5) h(8)
与h(0)相乘的是x (Mn) 与h(1)相乘的是x(Mn-1)
………….
设M＝3，N＝9
x(0 k )
y(0)
x( 3 k )
h(1){ x(1), x( M 1),..x(nM M )..}
y(1)
x(6 k )
h(1){x(n 1)} M
h( N 1){x(n N 1} M
注意横 轴的不 同频率 轴扩展 了M倍
2π
π

π M
π M
ωx
π
2π
Y (e
jωy
)
时域压缩 频域展宽
ωy
2


2
8.1.2 信号的插值(interpolation)
x(n) v(n)
L
y(n)
相邻抽样点间插入L-1 个抽样值，通常是插入 L-1个零值点
low rate
经低通后这些零点 值不再为零
jω y
),
DTFT x( n) X (e jωx )
ω y 2πf / f y 2πf / f x / M Mωx
Y (e
jω y
1 ) M
X (e
j 2 πk / M
e
jω y / M
) H (e
j 2 πk / M
e
jω y / M
)
x x
1 M
M 1 k 0
第 八 章
多采样率数字信号处理
8.1 采样率转换滤波器
抽取 (decimation) : 频率 降低抽样 M
L
内插 (interpolation): 提高抽样频 x ( n) 8.1.1 信号的抽取 率 抽取的一般概念
x' (n)
…. 2 ….
抽样频率 降低一倍
x' (n) x( Mn) , n .... 2,1,0,1,2.....
jω y
Y (e
)
1 1 jω / M X (e jωx ) X (e y ) M M
X (e j )
c
H (e jω )
c
π 2
2

π 2

ω
2
M=2
V (e jω )
源自文库
ω
2



2
V1 (e jω )
π 2
π 2


2
ω
2π
2π
π

π 2
X (e jωx )
u( n) v ( n) * h( n)

k
h(k )v(n k )
k

x(n / L) n 0, L,2 L..... v(n) others 0
k
v(k )h(n k ) x(k )h(n kL)
k
….
x' (n)
抽样频率不变
抽取降低了采样率，会引起频谱的混叠
….
抽取过程对信号频域产生的影响：
1 p( n) δ( n Mi ) M i
M 1 j 2 π kn e M k 0 M 1 j 2 π kn e M k 0

1 x' ( n) x ( n) p( n) x ( n) M
x(n) , n ... 2 M , M ,0, M ,2 M ..... x (n) 0 , others x' (n) x(n) p(n) x(n) δ(n Mi)
'
i
x ( n)
x ( n)
….
x (n)
'
….
p( n )
….
抽样频率 降低一倍
q q q
xi ( Mn)
hi (n)
yi (n)
y(n) yi (n)
i
抽取的多相滤波器结构
pk ( n) h( k nM ) k 0,1,..M 1 n 0,1,..N / M 1
z 1
x ( n)
3
z 3 z 3
h(0)
h(3) h(6)
y ( n)
运算量比较： 直接实现： 每个输出需要N次乘法； 多相结构： 每个子滤波器只需[N/M] 次乘法

2π
8.1.3 抽取与插值结合的抽样率转换
L fs fs M
x ( n)
如原来抽样率为1KHz，要变成1.4KHz，可先 经过7倍插值转换为7KHz，然后再进行5 倍的 抽取，就可得到抽样率为1.4KHz的序列。
v ( n)
u( n)
y( n)
L
fs
插值
h1(n)
Lf s
h2(n)
抽取
C ) 0
, | ω y | π / L , 其它
jLωy
V (e
jωy
) X (e
) X (e jωx )
X (e jωx )
原信号频谱
2

H (e
jω y

) V (e
jω y
2
x
)
映像
ωy
插入零点后的频谱 插值滤波后信号的 频谱；滤出映像
2

π | ω y | L
ω y 2πf / f y 2πf / Lf x ωx / L ωy π ωx Lπ , ωy π / L ωx π
jωy m
V (e
H (e
jωy
)
m
jω y
v(m)e


m
x(m / L)e

jωy m
V (z ) X (z L )


抽取相当于用间隔为M的脉冲抽样来实现，同时频谱周期化。
X (e
' jω
)
n
x , ( n)e jωn
M 1 j 2 π kn e M ]e jωn k 0 j ( ω 2π k )n M
1 [ x ( n) M n 1 M 1 M
M 1 k 0 n M 1 k 0
j ( ω y 2 πk ) / M
X (e
j ( ω y 2 πk ) / M
) H (e
j ( ω y 2 πk ) / M
1 ) M
M 1 k 0
X (e j (ω 2πk / M ) ) H (e j (ω 2πk / M ) )
因： | ωx |
π | ω y | π ，故可以仅考虑ωy的一个周期，则有： M
y(n) u( Mn)
令
x(k )h( Mn kL)
p 表示求小于或等于p的最大整数。

nM k i L
y(n)
N 1 k 0
h(k )x(nM k )
h( k )
h(0){ x(0), x( M ),..x( nM )..} h(0){ x( n)} M

x( n)e X (e
j ( ω
2π k) M )
X (e jω )
2π
π
ωc
ωc

2π
ω
π ωc M
1/M
X ' (e jω )

2π
M=2
2π π( ) M
ωc
ωc
π(
2π ) M
2π
抽取会引起频谱混叠，因此抽取前先进行低通滤波， 且满足： | ω | π / M 1 jω