浙江工商大学应用随机过程2012--2015年考博真题

kE
答案写在答题纸上，写在试卷上无效
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5．（ 本 题 10 分 ）若 X1 ， X2， 是 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ， EXi 0，E Xi , i 1, 2 , ， 令
n
S0 0, Sn ＝ X k ， 求 证 Sn 是 关 于 Fn (X1, X2, , Xn ) 的 下 鞅 。 k＝1
X (t), t 的 均 值 函 数 、 相 关 函 数 和 协 方 差 函 数 。
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
3．（ 本 题 15 分 ） 一 质 点 在 1、 2、 3 点 上 作 随 机 游 动 。 若 在 时 刻 t 质 点 位 于 这 三 个 点 之 一 ，
则 在 [t ,t h) 内 ， 它 都 以 概 率 h o(h) 分 别 转 移 到 其 它 两 点 之 一 。 试 求 质 点 随 机 游 动 的
浙江工商大学 2012 年博士研究生入学考试试卷（A）卷
招生专业：统计学 考试时间：3 小时
考试科目：应用随机过程 总分：100 分
1．（ 本 题 15 分 ） 考 虑 随 机 点 在 时 间 区 间 0,t 内 发 生 的 次 数 Nt ， 若 随 机 点 在 0,t 内 发 生
的 次 数 是 偶 数 （ 视 0 为 偶 数 ）， 则 令 Xt 1； 若 为 奇 数 ， 且 令 Xt 1； 且 X 0 0 。
满足微分方程
dNt Ntdt NtdBt ， 其 中 , 为 常 数 。 试 用 Ito 公 式 求 Nt 的 表 达 式 。
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浙江工商大学 2013 年博士研究生入学考试试卷（A）卷
招生专业：统计学 考试时间：3 小时
考试科目：应用随机过程 总分：100 分
Y (1) 求 Yt 的 特 征 函 数 ；(2)若 1 的 二 阶 矩 存 在 ，求 t 的 期 望 和 方 差 ；(3) 证 明 Yt 是 一 个 独 立
增量过程。 2．（ 本 题 15 分 ） 一 质 点 在 1,2,3 三 个 点 上 作 随 机 游 动 ， 1 和 3 是 两 个 反 射 壁 ， 当 质 点 处 于
7．（ 本 题 10 分 ） 设 {B(t), t 0}为 Brown 运 动 ， 令 X ( t) B( t) t B(1) , 0 t ，1
(1) 证 明 {X (t ) ,t 0为} 正 态 过 程 ； (2) 求 cX (t1,t2 ) 。
8．（ 本 题 10 分 ）设 Nt 为 t 时 刻 的 人 口 数 量 ，{B(t), t 0}为 Brown 运 动 ，且 过 程 {Nt ,t 0}
2 时 ，下 一 时 刻 处 于 1,2,3 是 等 可 能 的 。写 出 一 步 转 移 概 率 矩 阵 ；判 断 此 链 是 否 具 有 遍 历性，若有，求出其极限分布。
3．（ 本 题 10 分 ） 若 X1 ， X2，是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 令 m(t) E(etXi ) , 固 定 t 并
又 设 在 t0 ,t0 t 内 有 k 个 随 机 点 发 生 的 概 率 与 t0 无 关 ， 且 Nt0t Nt0 Nt
（ 即 参 数 为 t 的 Poisson 分 布 ）
pk (t)

P(Nt

k)

(t)k k!
et
P(t)
其 中 0,k 1, 2, .求 {Xt }的 期 望 EXt 和 自 相 关 函 数 R(t1,t2 ) 。
柯 尔 莫 哥 洛 夫 向 前 微 分 方 程 ， 转 移 概 率 pi j (t) 及 平 稳 分 布 。
4．（ 本 题 15 分 ） 试 证 明 查 普 曼 － 柯 尔 莫 哥 洛 夫 方 程 ， 即 对 一 切 n, m 0 ， i, j E ， 有
P(mn) ij

P P (m) (n) ik kj
P{N(2)=k}和 P{N(3)=k}。
5．（ 本 题 15 分 ） 设 W (t), t 是 参 数 为 2 的 维 纳 过 程 ， R ~ N(1,4) 是 正 态 分 布 随 机
变 量 ； 且 对 任 意 的 t ， W (t) 与 R 均 独 立 。 令 X (t) W (t) R ， 求 随 机 过 程
6 ．（ 本 题 10 分 ） 证 明 ： 强 度 为 的 齐 次 Poisson 过 程 {Nt ,t 0}的 到 达 时 间 间 隔 序 列
X n , n 1, 2, 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 是 具 有 相 同 均 值 1 / 的 指 数 分 布 。
1．（ 本 题 15 分 ）已 知 n , n 1 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， Nt , t 0 是 强 度 为 的
Poisson 过 程 ， 且 与 n , n 1 相 互 独 立 。 设
Nt
Yt n , n1
对任意 t 0，
n
假 定 m(t) ， 令 S0 0, Sn ＝ X k ， 求 证 M n [m(t)]n etSn 是 关 于 X1, X 2 , 的 鞅 。 k＝1
4（． 本 题 15 分 ）设 { N(t), t 0 }是 更 新 过 程 ，P { Xi ＝ 1}＝ 1/3, P{ Xi ＝ 2}＝ 2/3, 求 P{N(1)=k}，
2．（ 本 题 15 分 ） 设 马 尔 可 夫 链 的 状 态 空 间 I {1, 2 , 3, 4 ,，5}转 移 概 率 矩 阵 为 ：
0.3 0.4 0.3 0 0 0
1
0
0
0

0 0 0 0.3 0.7

0
00
1
0