四色猜想

世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。

不久，泰勒的证明也被人们否定了。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

1950年，有人从22国推进到35国。

1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。

看来这种推进仍然十分缓慢。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。

1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。

四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。

它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。

证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。

这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。

在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。

这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。

四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。

最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。

缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”
德·摩尔根：地图四色定理
地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

德•摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。

一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

以下摘录德•摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。

二色公理与四色定理和八色定理
薛泮郎
【摘要】
通过对四色问题的研究，发现了“二色公理”和“八色定理”，进而概括出“2n色定理”。

著名的“四色定理”，只不过是2n色定理的一个特例。

2n色定理成立的基础是“二色公理”。

【关键词】
二色公理四色定理八色定理 2n色定理
一、引言
“四色定理”是数学上一个广为人知的著名难题。

四色定理的内容是：对于一张任意
复杂的地图，最多只用四种颜色，就可以将其涂色，且使任何相邻区域不同色。

这个看起来简单的问题，却在提出后的一百多年内没有得到证明。

1976年，伊利诺大学的阿贝尔和哈肯宣布解决了这个问题，引起了全世界数学界的关注。

他们的证明是用计算机进行的，非常繁重，前后用了四年时间，1200个计算机小时，而且证明的关键部分深藏在计算机内，不能经受人工检验。

所以，不少数学家对他们的证明表示怀疑。

四色定理的人工证明尚未完成。

二、二色公理
设想有任意多个、任意大小、任意形状的平面图形，这些图形沿一条直线或曲线依次排列，就组成了一幅“线状地图”，如图1。

对线状地图涂色，且使任何相邻图形不同色，只需要两种颜色就够了，这就是“二色公理”。

证明方法是：从这个线状地图的某一端开始，依次标上自然数1、2、3、……n；在这个数列中，只有两类数：奇数和偶数，且同类数互不相邻，我们只要把奇数和偶数涂成两种不同的颜色就行了。

这只不过是对二色公理的“说明”，因为我们找不到比它更基本的理论来“证明”它。

所以我们把它约定为“二色公理”。

三、四色定理
四色定理面对的是一幅“面状地图”。

这幅地图中的图形也是任意多个、任意大小、任意形状的。

在对这幅地图涂色前，我们要对它作一番技术处理：从地图的某一边开始，先把这个边上的全部图形看作一个“线状地图”，然后依次向里分割，直到把这个“面状地图”全部分割成一条条的“线状地图”为止。

这里的分割是假想的，对地图没有任何改变。

接着把这些一条条的“线状地图”涂成冷、暖相间的两类色条。

根据二色公理，这幅面状地图只需要冷、暖两类颜色就够了。

在冷色条上，有蓝、绿两种颜色；在暖色条上，有红、黄两种颜色。

也就是说，整个“面状地图”只需要四种颜色就够了。

四、八色定理
现在有一本地图，有任意多张；每张都是面状地图，且张张透明，透过某张可以看到邻
张上的图形。

我们把这本地图定义为“体状地图”，如图4。

如果对这本地图涂色，且使相邻两张不同色、每张上相邻图形也不同色，只需要八种颜色就够了，这就是“八色定理”。

根据二色公理，对体状地图的涂色也是很容易的。

方法是：把每张张面状地图相间地涂成“深四色”和“浅四色”就行了。

这样，整本“体状地图”只需要深、浅两类颜色，再乘上每张上的四色，也就是八种颜色就够了。

五、2n色定理
从二色公理到八色定理，可以导出“2n色定理”。

但是在n>3的情况下，现在还找不到实在的模型。

在n=2的情况下，可以用于无线电通讯的频率规划方面。

当n=3时，可以提出一个有趣的问题：对于任意大的一堆砂石，可以只用八种颜色将每一粒涂色，且使所有相邻的粒块不同色。

【参考文献】 1、基斯。

德夫林著《数学：新的黄金时代》上海教育出版社1997.12
2、Thomas L.Saaty Paul C.Kainen The Four Colour Problem (Mc Graw—Hill,1997)
《太极元点图一色定理》
《罗盘指南针二色定理》
《地球区划图四色定理》
《环圈组合图八色定理》
《宇宙时空图十六色定理》
《万有图形色数定律和系统区划管理科学分类定理》
——原创者。

这宏伟的大自然系统定律：N = 2 • K 次方。

和子系统的区划分类定理： N = 2 + k 维环。

就是科学的奇思妙想，具有划时代的贡献。

将为现代科学和人文知识开辟前进的道路。

有诗为证
图内图外图环图.四色区划显神奇。

系统邻隔二维分.东西南北三色齐。

多少奇巧繁化简.大小和谐类变级。

创优环球新区划.精彩奥秘在偶奇。

舆图的色数定理是几色定理？——正确答案是她是迷人的“四色公主定理”。

她在不同的场合呈现不同的色数。

她在一维环圆上为三色，在二维举世界上为四色，在三维环圈上为五彩。

继续往前还会呈现一至八色，因为她在0维原点图为一色，在0维曲线图为二色，在一维环圆图为一至三色，在二维举世图为一至四色，在三维环圈图为一至五彩，在四周跟别地方六维组合环圈图为一至八色。

她的舞动图就还会呈现一至十六色。

因为她在太空时空八色彩衣的始终轨迹，多到达十四虚维十六色。

依次推理可以用统一公式：图色定律N = 2 的K 次方。

色数定理N = 2 + K 维环。

要是再继续往前就会呈现万有图形色数：大自然的色数有几多，她的精彩姿色就有几多。

今年是天下人平易近的大喜之年，神州人平易近正沉醉在奥运喜事之中。

同时又是全世界人平易近的“地球国际年”，世界各国人平易近又郑要地面对地球，更存眷本身唯一的家园，深思着地球的奥秘，渴望着揭开其中更多的谜底。

“认识地球，和谐成长”。

这是人类的永久方针和任务。

四色问题的谜底——“舆图区划四色定理”成立。

这真是人类的唯一家园——地球区划图的色数奥秘：为二维曲面对应四基色——红黄蓝黑。

算术是人类共有的严密而精确的推理学科，具有系统而严酷的思维独特之处，因此成为自然科学和人类社会形态文化科学的共同基础。

算术的成长，抽象的反应着人类思惟的成长。

算术的每步前进，都凝聚着人类智慧的交流与搜集，并且每一个发现与否认，每步证实与纠错，都包含着很多优异思惟家的最高智慧，和无数工农商学兵的辛劳实践。

在太空时空千变万化的自然界和人类生活的地球上，有很多扑朔迷离的奇异征象。

它们布满了神秘的气氛，当人类感觉然后，试图认识和理解它们，又发现奥秘非常难以破解，要得人与自然无法和谐成长。

到现在为止，地球傲然在神秘的气氛中，诱人猜想，又令人费解的很多奥秘，正等候着科学家的辛劳摸索，也有待于优异的小伙子牛人去大胆猜想。

地球区划四色问题和横扫地球的厄尔尼诺和拉尼征象，无疑是当今地球两大最著名的全球奥秘。

为地球区划“四色猜想”作传奇，以论证正题思惟：——“和谐成长的知行相长”。

——“人的思惟有多远，步履才气有多远”。

是本文目的。

早在1840年，著名算术家莫别乌斯就发现了一些“图形色数征象”。

他起首提出了对“任意舆图四种颜色是足够的”，但没能加以证明。

厥后，伟大的法国算术家庞加莱为此进行了更多的“图形色数猜想”。

其中最典型的是：赏格一百万美元的千年难题——“庞加莱猜想”，和“举世面的色数为5”，“环圈面的色数为7”。

这些个纰缪的猜想至今处处传播，在国际算术界占主导地位。

——因此，继续要使“五彩定理”减为“四色定理”，却困扰了很多算术家和喜好者，为此进行了两跨世纪的世界大论战。

——过去世纪，中外算术家对“四色问题”先后提出大量看法，并曾经指出疏忽遗漏之处。

汗青上有个著名的“纰缪证明”——1879年肯普的证明。

当时不少算术家都对肯普的成果给予高度评价。

接着的十年代里,大家都公认肯普的证明解释回答了四色问题。

到了1890年,另一位英国算术家希五德指出了肯普在证明中的漏洞,但他利用肯普的设法证明了“五彩定理”。

即：只用五种颜色着色,可以使有共同边界的国家涂上不同颜色。

肯普向伦敦算术会报告了希五德的成果,同时承认本身错了,也承认没辙填补这个漏洞。

但在其后几十年,不少书本杂志上还照样援用肯普的纰缪成果。

由于东西方社会形态体系体例和汗青配景有所不同，观念形态和思维方法也有所不同。

现在我在BeiJing国家图书馆里，看到了几本有关“四色问题”的新书，为了使本文“四色猜想的迷人传奇”——可以容或包含万象的完整反应，整个四色猜想和证明的汗青过程，我为此进行一些必要的摘记：——有幸录入传奇的观念将对人类有所贡献，这是对这些个原创者最好的回报。

以下内容首要叙述我国很多作者，和我的证明方法，是非自有公认。

——
我的认为是：神州国家算术专家权威，因对四色问题的无知而崇洋媚外，紧张阻碍了科学成长。

因为“四色舆图”是客观存在的，并且是最优情势，只是人类还不知其算术证明标的。

“五彩舆图”或者“更多颜色的舆图”，只不外涂色容易，但不是唯一选择，因此其中也就不克不及表现大自然纪律。

提到系统区划分类和宏观行政办理上，也就没有最优情势。

然而，国家舆论媒体的一边偏向，且又被个体无知者或自擅自利者所掌控，导致不同思惟，不同见解和声音，被褫夺了发表权，同时也褫夺了人平易近的知情权。

此情令人悲伤，此景可叹！于平易近不幸，于国不利！
从此四色问题的研究，也就被国家规定的研究人员彻底放弃了。

这就使恰当前最有价值，最有魅力的科学重大研究课题，被人们忽视了且不敢再提议研究。

以下我们再看看不克不及正式发表，而只能在收集上发表的平平易近思惟和声音。

——这些个作者的共同独特之处,都未将舆图转化为上千种的构形,而是不约而同地转化为一种模式图,或可最简单的面图。

——我觉得这就是进步。

——你想想,一千四百多种构形,一个一个排除,那能算是简捷明了的证明？更离谜底答案相差十万八千里！无穷远啊！
诸位网友为何不约而同地都能判断那五点着三色呢? 因为大家都使用三角学图,特别熟悉它的性质.三角学图是怎么来的?——是在原图中增加了连线,就是增加地区范围的边界。

这正好与heawood方法相反。

——
外貌仿佛更麻烦,实际给我们带来了科学的纪律性。

宛如总结的口诀那样子：二色包围一色/三色包围一色/三点连线必包围/四点连线必包围!/最简单的面图的封闭性等等。

当给三角学图着一色时,因遇到两点完全相邻的矛盾后,才着第二色。

当遇到三点完全相邻,又着第三色。

遇到四点全相邻必着第四色。

因五点完全相邻没有必然性,不需着五彩。

所以四色永不出矛盾。

大自然就是这样正确，精彩！
向来的算术人士全都被伟大欧拉定理的权威性引向了歧途,整整停滞了一个半世纪。

至今人们还在津津乐道地，向小伙子学子们灌输曲面舆图“五彩定理”和环管面图的“七色定理”,把它们奉为圭臬。

——
黎鸣没有被肯普/希伍德老路截获,没有一条路走到黑。

他说“四色猜想”之所以难以破解,除开上面的原因,还有语言的贫乏,逻辑语言的贫乏。

他的顿悟虽然说是九年前一个早上,但接触的时间不下于20年。

20年萦绕心头,你说叫不叫苦。

黎鸣六十多岁,自找苦吃,这是啥子精神? 这种精神莫非不值当学习吗？
我是《罗盘指南针二色定理》、《地球区划图四色定理》、《环圈组合图八色定理》、《万有图形色数定律和系统办理分类定理》原创者。

可是我只是网上新的博客，为了冲锋陷阵，挑战纰缪且霸道的权威。

并为人类广播正确的思惟和大自然的奥秘——四色定理。

其正是地球色数的奥秘，也是打开太空万事万物的金钥匙。

——或是高级罗盘指南针。

因此我边学边用，立竿见影，在新浪和百度收集上，发表我的《地球区划图四色定理》和《万有图形色数定律和系统区划分类定理》。

并开创了“罗海四色”和“万有图色”博客圈。

接待大家来论坛发表不同的思惟和言论，以探求知识行相长，共同为提高系统办理科学区划而办事。

神州近三十年来，因改革开放而大量引进了西方进步前辈国家，尤其是美国的算术教材。

由于是全盘引进，西方算术大师的创造和失误也照单全收。

以致美国纰缪的电脑四色定理也放进了我国中学生教材之中。

作为美国电脑四色定理证明的典型图例：就是一幅正方四色图。

“天圆处所”，由此去证明地球区划图色数为四色，明明很难。

不可否认，简略是非判断，电脑明明比人脑快速。

然而，电脑至今还其实不具有人脑的猜想和洞悉的能力。

这些个美国人依赖电脑，破费了1200个机时的计算，就作了上百亿次的电脑判断，只是查抄了舆图区划是可以四色分另外，其他啥子成果也没发现。

要是继续无限数的查抄下去，傲然不会发现啥子成果。

因为希望找到一个可望的地球图基本构形，简直就是摸索地球的无底坍缩星。

因此，目
前全世界对四色问题有所懂得的人，岂论是大中小学生，照旧前贤，教授，学者，都无法理解四色问题。

人类真的无法破解地球构形的奥秘？更无法懂得太空构形的奥秘吗？——“和谐成长的知行相长”，“人类思惟有多远，步履才气有多远”。

这才是正道。

那一些旁门左道，脚踏两船，最终于人无利，于事无益。

本人因此另辟蹊径，采用东方哲学思惟，发明了罗海邻隔环思惟，创新了《万有图形色数定律和系统区划分类定理》。

要得“四色猜想”获得了美满证明，从而成为“四色定理”。

因为，事实上地球图是曲面形的。

只要以地球仪经纬收集图为模型，那么就很容易证明四色定理。

我的四色定理证明的典型图例：就是这幅地球仪经纬收集圆形四色图。

因此两维的经纬收集线，把地球全数地区都双重环圈了。

纬线成圆圈形成三色环圆。

经线两端点则交织于南北南北极，形不成环形而不需要第三色来间隔。

所以，我的证明：《地球区划图四色定理》具有必然性。

我的邻隔环思惟解开了地球四色定理的奥秘。

继续往前，这把金钥匙又打开了太空万事万物的“万有图形色数定律和系统区划分类定理”的奥秘。

这是宏伟的原创性科学发现和发明——《万有图形色数定律和系统区划分类定理》.
——用一句话概栝设法: 我的万有图形色数定论组成了系统办理科学的区划论，思惟的协调论，步履的优化论，因为其产生于人类千世纪的实践经验和科学文化常识堆集，和我的追索研究，因此一旦上涨为定理，必然形成自然科学和人类社会形态文化常识的系统办理和谐标准模型，将象罗盘一样统一人们的思惟和步履以和谐成长，从而成为一种科学规仪。

我所证明的四色定理，比拟力可知：美国人的图论证明，只是徒有其名。

因为无法回避图集是明明存在的，它既不是根本不可能存在，也不是高达14环的构形。

我的智慧发现：不可避免图集仅只是 1 环的构形。

我把它命名为罗华三色环圆，并与我所发现并命名为罗中金三角学点，成为一对双生子。

因为三色环圆具有特殊的完美性和环闭性。

任何几何图形都可以分为三边形图，而三边形图再分也是如此不可避免构图集。

这人脑智慧的发现还需要电脑作无数次判断进行复验吗？——格物致知，自然之道自然。

这才是检验真谛的标准。

因此，只要翻看舆图，就可以用智慧目光发现，处处都是金三角学点和三色环圆。

自然数的奇偶性可以为其完全归纳证明。

所以，红黄绿蓝黑白灰，最简略的点线面，组成了既新奇精巧庞大，又和谐分级的舆图构形。

这就是人类所要最终追求的地球外貌图形的奥秘，而且也是太空空间图形的奥秘。

——算术家真正喜欢的是一个阐明性的证明。

——其核心思惟中所包含的美，会改变我的生活和整个人类世界。

本书描述的七大“赏格一百万美元的难题”的确位于算术之巅，至今仍悬而未决，它们容
或比地球上的任何真正的山峰更难征服。

“千年难题”的解释回答，将对21世纪的算术研究起到巨大的影响。

选题委员会相符认为选出的“七大难题”是今世算术中最重要的未解决问题。

这些个问题位于算术主方法域中心，全世界很多优异算术家都无功而返。

算术险些完全是脑力活动——真正的工作不是在实验室、办公室或工场中完成的，而是在前脑中。

固然，前脑是与身板相连的，身板可能在办公室中，或在sofa上，可是算术本身仍然在前脑中，与物质世界中的事物没有任何直接联系。

——甚至当可以画出一张图时，往往是它提供的帮忙可能与误导的一样多，这就要诠释者必须用语言补充申明图中哪些东西少掉了，哪些处所误导了。

然而当这些个语言不克不及联系日常生活中的实际事物时，怎么才气使非专业的读者理解它们呢？
随着这门学科变得愈来愈抽象，算术家讨论的对象愈来愈远离日常生活，甚至对忠实的算术观众，这件事也愈来愈难了。

明明，对有些今世的问题，可能已经到达了与门外汉简直无法沟通的程度。

这其实不是因为人脑需要时间去适应新的抽象水平，这种情况很正常。

而是说，抽象的程度和速度成果可能到达了只有专家才气跟上的阶段。

随着每一个新概念的跃出，甚至算术家也需要时间来适应新的思惟，把它们接管下来，作为她们做研究所依靠的全数配景的一部分。

直至最近，算术进展的速度也是在大体上要得有兴趣的察看者能鄙人一个成长到来以前掌握目前这个新的成长。

可是这也变得愈来愈难了。

从本源上看，“千年难题”对人类前脑来讲，是足以理解的。

有关的概念和它们要处理的模式，与其说有很多内在困难，不如说它们非常非常地令人陌生。

就像复数或非欧几何的思惟，会让古希腊人看起来是奇怪得不可理解一样。

今天，随着对这些个思惟的逐渐熟悉，我们能了解它们如何从古希腊人熟知的作为平凡算术的概念中自然产生。

容或阅读这本书的最好方法，是把这“七个问题”想成25世纪的平凡科学。

这七大“千年难题”是“当今算术的珠穆朗玛峰”。

你从这些个大山顶中的任何一个看下来，事实能看到啥子，这是很难说清楚的。

然而一无疑问，要是它们之中的任何一个被解决，我们将至少看到，这个世界不可能一无变化。

这才是真正的奖励，现在为每一个问题标价一百万美元，仅只是对它们这种地位的承认。

定理光辉的精彩奇美——当我历经半世纪的攀登以追求真谛，遽然回首离天三尺三，无意之中已经登临“珠峰之顶”获得发光的明珠——地球图形色数奥秘——四色定理。

此种惊喜难以言状，如同地球区划图四色定理，光辉八方真奇美无比。