分流电路和分压电路

u1 u2
在今后学习中，还会遇到更多的对偶电路、对偶公式、 对偶定理和对偶分析方法等。利用电路的对偶关系，可以 由此及彼、举一反三，更好地掌握电路理论的基本概念和 各种分析方法。
练习题1 求图示电路中的电压u1和u2 。
u1 4V u2 6V
练习题2 求图示电路中的电流i1和i2 。
根据两个电阻并联分流公式得到12和6电阻中的电流
i3 i4
图2－8
根据结点a的KCL方程计算出短路线中的电流i5
i5 i1 i3 2A 1A 1A
也可以根据结点b的KCL方程计算出短路线中的电流i5
i5 i2 i4 1A (2A) 1A
(2 2) －
ik
Gk
G
k 1
n
iS
k
(2 2) －
分流公式表示某个并联电阻中电流与总电流之间的关 系。分流公式说明电阻电流与其电导值成正比例，电导增
加时其电流也增大。
值得注意的是电阻并联分流公式是在图2－7电路所示
的电流参考方向得到的，与电压参考方向的选择无关，当
公式中涉及的电流变量iS或ik的参考方向发生变化时，公 式中将出现一个负号。
一、电阻分压电路 对图 2－2所示两个电阻串联的分压电路进行分析，得 出一些有用的公式。
图 2－2
对图2－2所示电阻串联分压电路列出KCL方程
i i1 i2
列出KVL方程
u u1 u2
列出电路元件的VCR方程
u uS
公式
u1 R1i1
u2 R2 i2
将电阻元件的欧姆定律代入KVL方程，得到电流i的计算
i1 6A i2 4A
练习题3 求图示电路中的电流i2，iS和电压u 。
i2 1A iS i2 i1 3A u 9V 4V 13V
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
u u1 u2
列出KCL方程
i i1 i2
列出VCR方程
i iS
i1 G1u1
i2 G2 u2
将电阻元件的欧姆定律代入KCL方程，得到电压u的计 算公式
i i1 i2 G1u1 G2 u2 (G1 G2 )u ＝ iS u G1 G2
将它代入电阻元件的欧姆定律，得到计算电阻电流的
例2－3 电路如图2－8所示，计算各支路电流。
图2－8
解: 根据两个电阻并联分流公式得到3和6电阻中的电流
6 i1 3A 2A 3 6
6 3A 1A 12 6
3 i2 3A 1A 3 6
12 3A 2A 12 6
图2－6
负载电阻变化时电流呈现的非线性变化规律，可以从普通 万用表的电阻刻度上看到。万用表电阻挡的电路模型是一个 电压源和一个电阻的串联。当我们用万用表电阻挡测量未知 电阻时，应先将万用表短路，并调整调零电位器使仪表指针
偏转到0处，此时表头的电流达到最大值，仪表指针满偏转。
当去掉短路线时，万用表指针应该回到∞处，此时表头的电流 为零。
读者应该注意到，短路线中的电流i5=1A与总电流
i=3A是不相同的。
三、对偶电路 前面已对图2－9所示的电阻分压电路和分流电路进行 了讨论，我们发现它们有某种相似性。
图2－9
现将电阻分压电路和分流电路的2b方程列举如下： 分 压 电 路 KCL: i = i1 = i2 分 流 电 路 KVL: u = u1=u2
R Uac Ubc Uab ＝Uac－Ubc
0 6V 8V -2 V
4 6V 6V 0
12 6V 4V 2V
∞ 6V 0V 6V
由计算结果可见，随着电阻R的增加，电压Ubc逐渐 减小，电压Uab由负变正，说明电压Uab的实际方向可以随 着电阻R的变化而改变。
例2－2图 2－4(a)所示电路为双电源直流分压电路。试求电位 器滑动端移动时，a点电位的变化范围。
uS u1 u2 R1i1 R2 i2 ( R1 R2 )i ＝ uS i R1 R2
将它代入电阻元件的欧姆定律，得到计算电阻电压的分
压公式
R1 u1 uS R1 R2
R2 u2 uS R1 R2
一般来说，n个电阻串联时，第k个电阻上电压可按 以下分压公式计算
其中k=RL/Ro表示负载电阻与电源内阻之比，isc=us/Ro表
示负载短路时的电流。
用分压公式写出负载电压u的公式
RL RO RL k u uS uOC＝ uOC R RO RL 1 k 1 L RO
其中k=RL/Ro，uoc=us表示负载开路时的电压。 负载电阻吸收的功率
k p ui u i 2 OC SC (1 k )
0
0
0.167
0.286
0.375
0.444
0.5
0.667
0.75
0.8
0.833
1
0
0.556
0.816
0.938
0.988
1
0.889
0.75
0.64
0.556
0
根据以上数据可以画出电压、电流和功率随负载电阻变化 的曲线，如图2－6所示。
由此可见：
1．当负载电阻由零逐渐增大时，负载电流由最大值 isc=us/Ro逐渐到零，其中当负载电阻与电源内阻相等时，电 流等于最大值的一半。 2．当负载电阻由零逐渐增大时，负载电压由零逐渐增加到 最大值uoc=us ，其中当负载电阻与电源内阻相等时，电压 等于最大值的一半。 3．当负载电阻与电源内阻相等时，电流等于最大值的一半， 电压等于最大值的一半，负载电阻吸收的功率达到最大值， 且pmax=0.25uocisc。
uk Rk
R
k 1
n
uS
(2 1) －
k
电阻串联分压公式表示某个电阻上的电压与总电压 之间的关系。分压公式说明某个电阻电压与其电阻值成 正比例，电阻增加时其电压也增大。 值得注意的是电阻串联分压公式是在图2－2电路所
示的电压参考方向得到的，与电流参考方向的选择无关，
当公式中涉及的电压变量uk或uS的参考方向发生变化时， 公式中将出现一个负号。
第二章
用网络等效简化电路分析
当电路规模比较大时，建立和求解电路方程都比较困 难，此时，可以利用网络等效的概念将电路规模减小，从
而简化电路分析。当我们对某个负载电阻或电阻单口网络
的电压，电流和电功率感兴趣，如图2－1(a)所示，可以用 单口网络的等效电路来代替单口网络，得到图2－1(b)和(c) 所示的电阻分压电路和分流电路，从而简化电路的分析。
KVL: VCR:
u = u1+u2
u1 = R1i1 u2 = R2i2 u = uS
KCL: VCR:
i = i1+i2
i1 = G1u1 i2 = G2u2 i = iS
分 压 电 路
分 流 电 路
KCL:
KVL:
i = i1 = i2
KVL:
u = u1=u2
u = u1+u2 KCL: i = i1+i2 u1 = R1i1 i1 = G1u1 VCR: u2 = R2i2 VCR: i2 = G2u2 u = uS i = iS 由此可见这两个电路的2b方程存在着一种对偶关系。如 果将某个电路KCL方程中电流i换成电压u，就得到另一电路 的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压u换成电流i，就得 到另一电路的 KCL方程。这种电路结构上的相似关系称为拓 扑对偶。与此相似，将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u， R换成G，G换成R等，就得到另一电路的 VCR方程。这种元 件VCR方程的相似关系，称为元件对偶。若两个电路既是拓 扑对偶又是元件对偶，则称它们是对偶电路。
例2－1 电路如图2－3所示，求R=0,4,12，∞时的电压Uab。
图2－3
解: 利用电阻串联分压公式可以求得电压Uac和Ubc
6 U ac 8V 6 V 2 6
12 U bc 8V 12 R
将电阻R之值代入上式，求得电压Ubc后，再用KVL求得 Uab，计算结果如下所示：
图2－1
本章介绍利用网络等效概念简化电路分析的一些方
法，先讨论电阻分压电路和分流电路，再介绍线性电阻
单口网络的电压电流关系及其等效电路，然后讨论电阻 星形联结联接和三角形联结的等效变换，最后讨论简单 非线性电阻电路的分析。
§2－1电阻分压电路和分流电路
本节通过对常用的电阻串联分压电路和电阻并联 分流电路的讨论，导出电阻串联的分压公式和电阻并 联的分流公式，并举例说明它的使用。
下面讨论一个实际电源向一个可变电阻负载供电时，
负载电流i和电压u的变化规律。画出电源向一个可变电
阻负载RL供电的电路模型，如图2－5所示，图中的电阻 Ro表示电源的内阻。
图2－5
图2－5
列出负载电流i的公式
uS uS R i 1 i ＝ o sc ＝ isc Ro RL 1 RL 1 RL 1 k Ro Ro
2:49
2:15
非线性电阻单口网络VCR曲线 2:30
Βιβλιοθήκη Baidu11
13 15 17 19
全波整流电路实验
万用表测量电阻 理想二极管实验 白炽灯的特性 白炽灯电路实验2
2:54
2:41 3:00 3:23 3:45
12
14 16 18
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公式和 结果也是对偶的。例如对图2－9(a)和2－9(b)对偶电路导出 的对偶公式如下所示：
u ( R1 R2 )i i u R1 R2 R1 u R1 R2 R2 u R1 R2 i (G1 G2 )u u i1 i2 i G1 G2 G1 i G1 G2 G2 i G1 G2
分流公式
G1 i1 iS G1 G2
G2 i2 iS G1 G2
图 2－7
用电阻参数表示的两个并联电阻的分流公式为
R2 i1 iS R1 R2
R1 i2 iS R1 R2
一般来说，n个电阻并联时，第k个电阻中电流可按以下 分流公式计算
ik
Gk
G
k 1
n
iS
k
阻的数值，例如500型万用表指针停留在中间位置时的读数是 10，当使用×1k电阻挡时的内阻是10k，使用×100电阻挡 时的内阻是1k，以此类推。
二、电阻分流电路 图 2－7表示一个电流源向两个并联电阻供电的电路，下 面对这个电阻并联电路进行分析，得出一些有用的公式。
图 2－7
对图 2－7所示分流电路列出KVL方程
当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位与b点电位相同
10k 1k Va Vb U bd 12V 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将在－10～
10V间连续变化。
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
当万用表接上被测电阻时，随着电阻值的变化，表头的电
流会发生相应的变化，指针偏转到相应位置，根据表面的刻 度就可以直接读出被测电阻器的电阻值。细心的读者可以注 意到一种特殊情况，当被测电阻值刚好等于万用表电阻挡的 内阻时，电流是满偏转电流的一半，指针停留在中间位置。
反过来，根据万用表电阻挡刻度中间的读数就可以知道其内
图 2－4
解: 将+12V和-12V两个电位用两个电压源替代，得到图(b)
所示电路模型。当电位器滑动端移到最下端时，a点的电
位与c点电位相同
当电位器滑动端移到最下端时，a点的电位与c点电位相同
1k Va Vc U cd 12V 24V 12V 10V 1k 10k 1k
系数k=RL/Ro取不同数值时计算出一系列电流电压和功 率的相对值，如下表所示：
k=RL /Ro 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 ∞
i/ i sc u/ uoc p/ p imax
1
0.833
0.714
0.625
0.555
0.5
0.333
0.25
0.2
0.167
名 称 1 3 5 电阻分压电路实验 负电阻分压电路 电阻三角形和星形联结 时间 3:11 2:12 3:06 2 4 6 名 称 双电源电阻分压电路 可变电压源 普通万用表的VCR曲线 时间 1:26 3:30 2:25
7
9
非线性电阻器件VCR曲线
3:59
8
10
线性与非线性分压电路
半波整流电路实验