圆锥曲线题型归类总结

高考圆锥曲线的常见题型

题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题

例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。

例2、方程表示的曲线是

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由

,

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

例1、已知方程1212

2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是

例2、k 为何值时,方程

1592

2=---k

y k x 的曲线：

(1)是椭圆; (2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积2

tan

2α

b S = ；双曲线焦点三角形面积2

cot

2α

b S =

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题

例1、椭圆x a y

b

a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠

F P F 12=

α，求证：△F 1PF 2的面积为b 22

tan α

。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

，

．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

例1、已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为

边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B. 13-

C. 2

1

3+ D. 13+

例2、双曲线22

221x y a b

==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P

为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

例3、椭圆G ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在

点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；

例4、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直

线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内⇔122

22<+b y a x

点在椭圆上⇔122

22=+b y a x

点在椭圆外⇔122

22>+b

y a x

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

∆>0⇔相交

∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离 3、弦长公式：

=AB )(11212212x x k x x k -+=-+a

k ∆

+=2

1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+

a

k ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2/2，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为

例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为

(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且

又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程: