高中数学必修五《不等式》复习教案

第六讲 复习不等式

一、

本讲进度

《不等式》复习 二、本讲主要内容

1、不等式的概念及性质；

2、不等式的证明；

3、不等式的解法；

4、不等式的应用。 三、学习指导

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有： （1）对称性或反身性：a>b ⇔bb ，b>c ，则a>c ；

（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； （4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac

（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。 特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n

1n

1b a >

；

（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b

1a 1<。 掌握不等式的性质，应注意：

（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号； （2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2

+b 2

≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2

+b 2

≥2|ab|；或变形为|ab|≤2

b a 22+；

当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤2

2b a ⎪⎭

⎫

⎝⎛+.

在具体条件下选择适当的形式。 3、不等式的证明：

（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； （2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。 4、 不等式的解法：

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。

含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应

当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。 四、典型例题

例1、 已知f(x)=ax 2

-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。 解题思路分析：

从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。 设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∴ ⎩

⎨⎧=+=+1n m 9n 4m

∴ ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=-=38n 35m ∴ f(3)=)2(f 38

)1(f 35+-

∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5 ∴

35≤)1(f 35≤320,38-≤)2(f 38≤3

40 ∴ -1≤f(3)≤20 说明：

1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a ，c ，即a=31[f(2)-f(1)]，c=31

[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，

达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。

2、本题典型错误是从-4≤a-c ≤-1，-1≤4a-c ≤5中解出a ，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

2、本题还可用线性规划知识求解。 例2、 设a>0，b>0，求证：a

b b

a +

≥b a +。

解题思路分析：

法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。 左-右=

ab

b a )

b a ()a

1b 1)(

b a (a

a b b b a b a a

b b a --=--=-+-=

--+

ab

b a )b a (2+-=≥0

∴ 左≥右 法二：基本不等式

根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 ∵ b b a +≥a 2

a a

b +≥b 2

∴ 两式相加得：a

b b a +≥b a +

例3、 设实数x ，y 满足y+x 2

=0，0

12log a +。 解题思路分析： ∵ y x a a +≥8

1)21x (212

x x y x 22

a 2a

2a 2+---+=

=，81)21x (212+--

≤8

1

，0

)21x (212a

2+--≥8

1

a 2

∴ y

x

a

a +≥8

1

a 2

∴ )a a (log y

x

a +≤8

12log )a 2(log a 8

1a

+

= 说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。 例4、已知a ，b 为正常数，x ，y 为正实数，且1y

b

x a =+，求x+y 的最小值。 解题思路分析：

法一：直接利用基本不等式：x ay

y bx b a )y b x a )(y x (y x +

++=++=+≥ab 2b a ++当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1y

b x a y bx

x ay ，即⎪⎩⎪⎨

⎧+=+=ab b y ab

a x 时等号成立 说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。 法二：消元为一元函数 途径一：由1y b

x a =+得b

y ay x -=

∴ b a )b y (b

y ab

y b y ab a y b y ab )b y (a y b y ay y x ++-+-=+-+=+-+-=+-=

+ ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由

b

y ay

->0得y-b>0 ∴ x+y ≥b a ab 2++