§7.6 线性变换的值域与核.

§7.6 线性变换的值域与核

教学目的 理解值域与核的概念，记忆秩与零度的术语，熟练掌握值域的结构，

及其与核的关系.

重 点 值域的结构，值域与核的关系. 难 点 值域与核的关系. 课 型 新授课 教学过程

定义6：A ——V 上的线性变换（()A L V ∈），A 的值域：{}V A AV ∈=ξξ，其维数叫A 的秩.

A 的核：(){

}V A A ∈==-ξξξ,001，其维数叫A 的零度. 易证：AV 与()01-A 均是V 的子空间。

例：在[]n x P 中，()()()x f x f A '=则[]()[]()P A x P x P A n n ==--0,11二者均是[]n x P 的

子空间。

定理10 11A (),dim ,,,n L V V n εεε∈=L 是一个基。 1）12AV (A ,A A )n L εεε=L

2）若1212A(,,)(,,)n n A εεεεεε=L L ，则秩（A ）=秩（A ）

证明：1）等AV,:A αααα''∈∃=，而1

A n

n

i i i i i i l

a a αεαε=='=⇒=∑∑

12(A ,A A )n L αεεε'∴∈L

反过来12(A ,A ,A )A A()AV n i i i i L a a αεεεαεε''∈⇒=⇒←∑∑L

α'∴是i i a αε=∑的像，AV α'∈故1AV (A ,A )n L εε=L 2）11212(A ,A )A(,,)(,)n n n A εεεεεεεε==Q L L L

∴ 秩1(A)dim AV dim (A ,A )n L εε==L （P271.2第六章 补充题2 ）=秩（A ）

换句话说：ψ：A A →，则 秩（A ）=秩（A ）

说明：()s L ααα,,,21Λ 是包含s ααα,,,21Λ的最小子空间。

解决了dimAV , 那么-1dimA ?=,

定理11 设线形映射:,dim V V V n σ→=<∞，则

dimIm dimker n σσ+=

证 设12dim ker ,,,s s σααα=L 为ker σ的基，则扩充

11,s s n αααα+L L 为V 的基

111((),()(),()(),())s s n n V L L σσασασασασασα+==L L L （），（ 如果，111

1

()()0()0ker n n

s s n n i i

i i

i s i s k k k a k a σασασσ++==+==+++=⇒=⇒∈∑∑L

1

1

1

()0,0n

s

n

i i i i i i i i s i i k a k a k a i k =+==∴=-⇒=⇒∀=∑∑∑

1(),()s n σασα+∴L 线性无关，因此1dim Im (())s n s σσασα+==-L n 秩（）

dimIm dimIm dimker n s σσσ∴=+=+

注意：虽有A 的秩+A 的零度=n ，但这并不等于AV +()01-A =V 成立。当且仅当

AV =V 时，A 的秩=n ，A 是映上的。

当且仅当(){}001=-A 时，A 的零度=0，A 是1—1的。

故：有限维线性空间的线性变换是1—1的当且仅当该线性变换是映上的。

推论1A (),dim L V V n ∈=，则秩()A A +的零度=n

A ()L V ∈

命题1

122133111

A (0)A (0)(A )(0)A (0)(A )(0)(A )0A (0)i i -----+-≤=≤=≤⋯≤≤⋯（）（）

证：11(A )(0)A 0A ()A(A )A00i i i i a ααα-+∈⇒=⇒===

11(A )(0)i α+-⇒∈

11()(0)(A )(0)i i A +-∴≤

命题2：231A A A A A i i V V V V V +≥≥≥≥≥⋯

证：1A :i V α+∈ 1:A A (A )i i t ββα+∃== α∴是A β的缘故。

1A A A i i i V V V α+∈⇒≥

命题3：21A 0A A (0)N -=⇔⊆

证“⇒”，若2A ,o = A V α∈，则V ∈∃ρ，A αβ∴=，2A A 0αβ==⇒

1A (0)A (0)V α-∈⇒⊆ V ∈⇐α”“，则1A A A (0)V α-∈⊆ 命题4：12A (),L V W W V ∈≤≤且

A {A |}i i W W αα==

则12A A W W ≤ 证：1A W α∈

21W W P ⊆∈∃，使12A A A W W αβ=∈⊆

12A A W W ∴⊆，又都是子空间，所以12A A W W ≤

命题5：设dim ,A ()V n L V =∈，则存在n s ≤，使

1A A s s V V +=

证：考虑221A A A A n V V V V V +≥≥≥⋯≥≥ n V =dim Θ

这2+n 个子空间必有维数相等者（共10,1,2,,1,+⋯⋯-n n n 这个维数） 设dim A dim A ()i j V V i j =< n i n j i ≤⇒+≤<∴1

13A A A A A i j i i V V V V V +∴=⇒==⋯=取i s =即 1A A s s V V +=

从而对任何,A A j s j n V V ≥= 如果A 0n ≠，则,A 0s s n >≠

(Th11)推论2：A (),dim ,A L V V n ∈=是11-的⇔A 是映上的。 证A ⇐“”映上11/dim A dim A (0)0A (0)0AV V V n --⇒=⇒=⇒=⇒=

1A A A()0A 1)A αβαβαβαβ-=⇒-=⇒-∈⇒=∴Q 是1-1的

A ⇒“” 是1-1的A V V ⇒= 仿照上节课命题5

命题6 dim ,A ()Vp n L V =∈则存在n s ≤使)0)(()0)((11+-=s s A A