通路和回路

通路和回路

1. 图的矩阵表示

矩阵表示便于我们把图存入计算机中，也便于对图进行代数运算。 定义1.1

邻接矩阵（adjacent matrix ）

以各顶点为行标和列标的方阵A ，其中项A ij =连接顶点i 和j 的边的个数。 关联矩阵（incidence matrix ）

以各顶点为行标和以各边为列标的矩阵M ，其中若顶点i 与边j 相关联，则M ij =1，否则M ij =0。

例1.2

邻接矩阵：

关联矩阵：

2. 通路与可达关系

定义2.1 通路（walk ）：在无向图中，通路是相邻的边顺次组成的序列。 在有向图中，通路中相邻的边还必须满足，前一条边的终点是下一条边的起点。位于通路最左端的顶点称为该通路的起点（initial vertex ，start vertex ），位于最右端的顶点称为该通路的终点（final vertex ）。若a ,b 分别是某通路的起、终点，则称从顶点a 可达顶点b ，记为a→b 。

通路的长度：非加权图中，一条通路的长度是指其中边出现的次数。在加权图中，一条通路的长度是指其中出现的所有边（包括重复出现的边）的权重之和。 路径（trail ）：所含边互不相同的通路称为路径。

简单路径（path ，复数为paths ）：所含顶点互不相同的通路称为简单路径。 课本第289页定理14.11.

定理2.2 在图G 的邻接矩阵A 的k 次幂A k 中，A ij 表示从顶点i 到j 的所有长度为k 的通路的总数。

v 2 v 3

e 5 e 1

推论2.3 2k

+++

A A A

定义2.4 可达矩阵。

3.最短路径问题

最短路径：

距离：d(u,v)=从u到v的最短路径的长度。约定：d(u,u)=0；若u不可达v，则d(u,v)=+∞

问题描述：给定一个加权无向图G=(V,E,W)，其中每条边e的权重W(e)为非负实数，找出从某顶点s到另外一个顶点之间的最短路径。

Dijkstra算法：由E. W. Dijkstra与1959年给出。1972年从ACM获得图灵奖。

∈，W(e)≥0；

输入：（1）加权图G=(V,E,W)，其中|V|=n且对于任何e E

∈

（2）s V

输出：从顶点s到G中每个顶点的最短路径及其长度。

算法描述：

（1）在计算过程中，迪克斯屈拉算法给每个顶点v赋予一个二元组(u,l)，称为顶点v的标记，其中u是一个顶点，从s到该顶点的最短路径已

被确定，而l等于d(s,u)+W(u,v)，它是从s出发经过顶点u而到达v

的最短路径的长度。若l是从s到v的最短路径长度，则在该二元组

上添加星号*，变为(u,l)*，称为永久标记。下面为表达方便，v的标记

记为l(v)，其中的顶点和长度分别记为l1(v)和l2(v)。

（2）首先可以被赋予永久标记的是起点s，因为从s到s的最短路径就是一个顶点s，其长度=0，显然是最短路径。因此，s的永久标记为(s,0)*。

其余各顶点的标记暂时为(s,+∞).

（3）用u表示当前被赋予永久标记的顶点。对于所有从u一步可达的顶点v，若v的标记还不是永久的，并且l2(u)+W(u,v)< l2(v)，则将v的标记

更新为(u, l2(u)+W(u,v))。

（4）在更新后的临时标记中，确定一个为永久标记，条件是其第2项最小。

重复上述（3）和（4）两步，直到所有顶点都有永久标记时为止。

算法步骤：见课本第304页。略。

例3.1 课本第304页。

定理3.2 Dijkstra算法是正确的。

证明：略。证毕

4.图的连通性

定义4.1

（1）无向图：在无向图中，若从某顶点出发可达其它任何顶点，则称该无向图是连通的（connected）。在无向图中，每个极大的连通子图称为（连通）分支（component）。

（2）有向图：

弱连通：基图是连通的。

单向连通：

强连通：

5.欧拉回路问题

定义5.1回路（circuit）：从某个顶点出发又回到该顶点的路径称为回路。

简单回路（cycle）：不含重复顶点的回路称为简单回路或者圈。

定义5.2

欧拉路径：包含所有顶点并且恰好包含每条边的路径称为欧拉路径。

欧拉回路：在一个图中，包含所有顶点并且恰好包含每条边一次的回路称为欧拉回路。

注：欧拉路径即通常所谓的“一笔画”。

例5.3试找出下列图中的一笔画。

例5.4 七桥问题：在Königsberg中的一条河上有七座桥（如下图所示）。试问：能否从某一点出发，穿过所有的七座桥一次后恰好回到出发点？

画图：

欧拉在1736年证明，七桥问题的回答是否定的。为了理解他的理论。我们引入关联和关联度等概念。

定理5.5（欧拉回路）在一个非平凡的无向连通图中，存在欧拉回路的充要条件是每个顶点的关联度都是偶数。

证明：（必要）

（充分）

证毕定理5.6（欧拉路径）

证明：留作练习。证毕

中国邮递员问题：邮递员要走遍其辖区内的所有街道，其中一定存在一条最短的

，问题是如何有效地找出这条最短回路。此

属于NP难问题。

6.汉密尔顿回路和旅行商问题

例6.1 汉密尔顿难题：1859年爱尔兰数学家汉密尔顿（Hamilton）提出了一个周游世界的问题：有20个城市，城市之间的道路如下图所示。问能否从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到出发点？

画图：Richard Johnsonbaugh著，石纯一，金涬等译《离散数学》第5版第271页。

汉密尔顿回路：包含所有顶点的简单回路。

例6.2 Johnsonbaugh《离散数学》第273页。

两个小图，一个要找出其中的汉密尔顿回路，一个要证明没有汉密尔顿回路。

中长度最小的汉密尔顿回路。

例6.3 找出下图中长度最小的汉密尔顿回路。

旅行商问题的计算复杂度：目前已有的算法计算效率都比较低，其时间复杂度都是指数级的，甚至是阶乘级别的。还没有人能设计出快速的多项式时间的算法。多数学者相信这个问题并没有快速算法，即属于NP难问题。要证明这个猜测也是很困难的。因为，它将解决一个世界公认的长期未解决的难题：P类问题是否等于NP类问题？

7.二部图

定义7.1 二部图（bipartite）。完全二部图K m,n。

定理7.2 设G是非平凡的简单无向图，则G是二部图当且仅当G没有奇圈。