高考数学总复习第三节 圆的方程

P，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解：设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
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(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：设PQ 的中点为N(x，y)，
C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0
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解析：⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝16， 故圆心是(2,3)，半径是4，点M(－2,0)是⊙C外一点，显然直线 x＋2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于 P(a，b)，则直线MP的斜率是a＋b 2，直线MP的方程是bx－(a＋
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考点二 与圆有关的最值问题
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数 形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题．
[题点全练]
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角度一：斜率型最值问题
1．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求
23－－ab·a＋b 2＝－1， 2)y＋2b＝0，故 |2b－b32＋a＋a＋2＋222b|＝4，
解得
a＝2225， b＝－2215.
故切线方程是7x＋24y＋14＝0，故选C. 答案：C
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2．(2018·永康模拟)设a∈R，则“a＞1”是“方程x2＋2ax＋
y2＋1＝0的曲线是圆”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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3．(2018·湖州调研)若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1 ＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是 ________． 解析：已知圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是
1，设圆C的圆心(a，b)，则有aa＋ －b2 11＝ ＋b21－，1＝0，
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，
即a2－1＞0，解得a＞1或a＜－1.所以当“a＞1”时，
有a2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的
方程时，有a＞1或a＜－1，不一定得到a＞1.所以是充分不
必要条件．
答案：A
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3．(2018·大连模拟)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点
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[通法在握]
与圆有关的最值问题的3种常见转化方法
(1)形如μ＝
y－b x－a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率
的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距
的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点
到定点的距离的平方的最值问题．
[演练冲关]
方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出
a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一
般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求
出D，E，F的值．
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2．确定圆心位置的3种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． [提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分 运用圆的几何性质．
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角度三：距离型最值问题 3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求
x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．
解： x2＋y2＋2x－4y＋5 ＝ x＋12＋y－22 ，求它的最 值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化 为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又 圆心到定点(－1,2)的距离为 34，∴ x2＋y2＋2x－4y＋5的 最大值为 34＋1，最小值为 34－1.
第三 节
圆的方程
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．圆的定义及方程 定义 平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合(轨迹) 标准
＝ 1＋1＋2bb2 ≤ 1＋12＋|bb| 2 ≤ 2 ，当且仅 当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝ 2 ，此时圆的 标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B. 法二：易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，当 圆M与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大， 为 2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.
为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径
百度文库最大的圆的标准方程为
()
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
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解析：法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－
by＋2b＋1＝0的距离d＝
|1＋b| 1＋b2
＝
1＋b2 1＋b2
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2018·西安二模)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点
M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是
A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0
()
B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
2
2a×2a＋1＝ 5
5，当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号．
所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝ 5 ，C(1,2)，所以面积
最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 答案：D
2．(2019·镇海中学摸底)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的 返回 切线PQ ，其中Q 为切点，若|PQ |＝|PO|(O为坐标原点)，则
12＋－b2＝r2， 依题意，得|b|＝12r，
r2＝43， 解得
b＝± 33，
∴圆C的标准方程为x2＋y± 332＝43. 答案：x2＋y± 332＝43
[谨记通法]
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1．求圆的方程的2种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半
径，进而写出方程． (2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准
答案：B
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2．(2018·浙江五校联考)若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5
的内部，则实数a的取值范围是
()
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．－1，15
D．－15，1
解析：因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2＜5，解得
－1＜a＜1.故实数a的取值范围是(－1,1)． 答案：A
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1．(2018·义乌诊断)圆心在曲线y＝
2 x
(x＞0)上，与直线2x＋y
＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为
()
A．(x－2)2＋(y－1)2＝25 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析：设圆心坐标为Ca，2a(a＞0)，则半径r＝2a＋2a5＋1≥
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若 M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
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[小题体验]
1．(2019·金华五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)
在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON， 则ON⊥PQ ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
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[由题悟法] 与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满 足的关系式等．
|PQ |的最小值是________． 解析：根据题意，设P的坐标为(m，n)，圆(x －3)2＋(y－4)2＝1的圆心为N，则N(3,4)．
PQ 为圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线，则有|PN|2
＝|PQ |2＋|NQ |2＝|PQ |2＋1，又|PQ |＝|PO|，则 有|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，变形可
y x
的最大值和
最小值．
解：
y x
可视为点(x，y)与原点连线的斜率，
y x
的最大值和最小
值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小
值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直
线的距离等于半径，即|2kk2＋＋31|＝1，解得k＝－2＋23 3或
k＝－2－2
3
3.∴xy的最大值为－2＋2
3
3，最小值为－2－2
3
3 .
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角度二：截距型最值问题 2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大
值和最小值． 解：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的在y轴 上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截 距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－23－t|＝1，解得t＝ 2－1或t＝－ 2－1. ∴x＋y的最大值为 2－1，最小值为－ 2－1.
6，即|PA|2＋|PB|2的最小值为6.
答案：6
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4．(2018·湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)， 且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程 为________．
解析：∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)， 设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
由此解
得a＝1，b＝2，即圆心C的坐标为(1,2)，因此圆C的方程是
(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：(1,2) x2＋y2－2x－4y＋4＝0
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必过易错关
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视 D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
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[小题纠偏] (2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a ＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2 ＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－54＜0，不表 示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得 (x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 答案：(－2，－4) 5
P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为
________．
解析：圆C：x2＋y2－2y＝0，转化为x2＋(y－1)2＝1，则圆
心(0,1)到直线y＝x－1的距离d＝
|－1－1| 2
＝
2 ，由于AB为
圆的直径，则点A到直线的最小距离为 2 －1，此时点B到
直线的距离为 2 ＋1，|PA|2＋|PB|2＝( 2 －1)2＋( 2 ＋1)2＝
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ， 圆心：－D2 ，－E2 ，
(D2＋E2－4F＞0)
半径：1 2
D2＋E2－4F
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2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
得3m＋4n＝12，即P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ |的最小值即
为点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝
|3×0＋4×0－12| 32＋42
＝
12 5
，即
|PQ |的最小值是152. 答案：152
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考点三 与圆有关的轨迹问题
重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，