2020中考难点突破之二次函数

2020中考重难点突破之二次函数

1.（2018黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为

A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2

6.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为

A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2

【考点】不等式组，二次函数的最值。

【分析】由题意知函数y=x2-2x+1≥1，可得出x的取值范围，再由a≤x≤a+1可得出a的值。

【解答】解：

由x2-2x+1=1，得x=0或x=2

当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，

结合函数图像可得a+1=0或a=2

综上，a的值为2或-1，

故选D.

【点评】本题考查了不等式组. 弄清题意，解不等式组是关键。

2．（2014舟山）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）

A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或

考点：二次函数的最值．

专题：分类讨论．

分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．

解答：解：二次函数的对称轴为直线x=m，

①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，

此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，

解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；

②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，

此时，m2+1=4，

解得m=﹣，m=（舍去）；

③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，

此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，

解得m=2，

综上所述，m的值为2或﹣．

故选C．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．

3.．（2019齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），

其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：

①abc＞0；

②3a+c＞0；

③当x＜0时，y随x的增大而增大；

④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；

⑤＜0；

⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n

＞2，

其中正确的结论有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣

∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b

由图象知：a＜0，c＞0，b＜0

∴abc＞0

故结论①正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）

∴9a﹣3b+c＝0

∵a＝b

∴c＝﹣6a

∴3a+c＝﹣3a＞0

故结论②正确；

∵当x＜﹣时，y随x的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小

∴结论③错误；

∵cx2+bx+a＝0，c＞0

∴x2+x+1＝0

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0）

∴ax2+bx+c＝0的两根是﹣3和2

∴＝1，＝﹣6

∴x2+x+1＝0即为：﹣6x2+x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝；

故结论④正确；

∵当x＝﹣时，y＝＞0

∴＜0

故结论⑤正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），

∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）

∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根

∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根

∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标

结合图象得：m＜﹣3且n＞2

故结论⑥成立；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），

二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

4.已知抛物线2y (1)x m =-++与线段y=x+2 (-3≤x ≤1) 没有公共点，则m 的取值范围是___________.

5.当0x 2≤≤ 时，函数2y ()5x m =--+ 有最大值4m ,m=_____________.

6. (2018北京)在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，

抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．

（1）求点C 的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．

【解析】（1）解：∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B ．

∴A （1-，0），B （0，4）

∴C （5，4）

（2）解：抛物线23y ax bx a =+-过A （1-，0）

∴30a b a --=．

2b a =-

∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212a x a

-=-=． （3）解：①当抛物线过点C 时．