规范答题示范课——解析几何解答题
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@《创新设计》
[满分体验] (2019·长郡中学模拟)设椭圆 C：ay22＋bx22＝1(a>b>0)，定义椭圆 C 的“相关圆”E 的方 程为 x2＋y2＝aa2＋2b2b2.若抛物线 x2＝4y 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短 轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. (1)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程； (2)过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两点.O 为 坐标原点，若 OA⊥OB，证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值，并求 m 的取值范围.
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@《创新设计》
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@《创新设计》
[满分示范] 【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆 C：x22＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C
交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2，0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. 规范解答 (1)解 由已知得 F(1，0)，当 l 与 x 轴重合时，l 的方程为 x＝1. 把 x＝1 代入椭圆方程x22＋y2＝1，
y＝kx＋m， 联立方程组y22＋x2＝1 得(2＋k2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，
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@《创新设计》
Δ＝4k2m2－4(2＋k2)(m2－2)＝4(2k2－2m2＋4)>0，
即 k2－m2＋2>0，xx11＋ x2＝x2m＝k22＋－－2k222，＋km2，
y1y2
＝
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@《创新设计》
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当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1< 2，x2< 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2.8 分 由 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－32k（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 所以，x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21.10 分
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@《创新设计》
即 m≥ 36或 m≤－ 36，
综上，m
的取值范围是－∞，－
36∪
36，＋∞.
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@《创新设计》
本节内容结束
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得点
A
的坐标为1，
22或1，－
2
2
.3
分
又 M(2，0)，
所以 AM 的方程为 y＝－ 22x＋ 2或 y＝ 22x－ 2.
5分
(2)证明 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.7 分
(kx1
＋
m)(kx2
＋
m)
＝
k2x1x2
＋
km(x1
＋
x2)
＋
m2
＝
k2（m2－2） k2＋2
－
2k2m2 k2＋2
＋
m2
＝
2m2－2k2 k2＋2 .
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由条件OA⊥OB得x1x2＋源自文库1y2＝0，即3m2－2k2－2＝0，
所以原点 O 到直线 l 的距离是 d＝ 1|m＋| k2＝ 1＋m2k2， 由 3m2－2k2－2＝0 得 d＝ 36为定值. 又圆心到直线 l 的距离为 36，直线 l 与圆有公共点 P，满足条件. 由 Δ>0，即 k2－m2＋2>0，∴3m22－2－m2＋2>0 即 m2＋2>0， 又 k2＝3m22－2≥0，即 3m2≥2，所以 m2≥23，
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则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－2k122＋k3＋ 1 8k3＋4k＝0. 从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.12 分
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@《创新设计》
@《创新设计》
[高考状元满分心得] ❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问，求出点A的 坐标，第(2)问求kMA＋kMB＝0，判定MA，MB的倾斜角互补. ❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中求出直 线 AM 的方程，第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直，将直线 y＝k(x－1)与x22＋y2＝1 联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. ❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问求对点 M 坐标与 直线 AM 的方程；第(2)问中正确写出 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21， 求出 kMA＋kMB＝0，否则将导致失分.
@《创新设计》
规范答题示范课——解析几何解答题
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@《创新设计》
[破题之道] 解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考 试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思 路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题 的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧 的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.
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@《创新设计》
解 (1)因为抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)， 依题意椭圆C的一个焦点为(0，1)，知c＝1， 又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形则b＝c＝1，a2＝b2＋c2 ＝2. 故椭圆 C 的方程为y22＋x2＝1，“相关圆”E 的方程为 x2＋y2＝23. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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[满分体验] (2019·长郡中学模拟)设椭圆 C：ay22＋bx22＝1(a>b>0)，定义椭圆 C 的“相关圆”E 的方 程为 x2＋y2＝aa2＋2b2b2.若抛物线 x2＝4y 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短 轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. (1)求椭圆 C 的方程和“相关圆”E 的方程； (2)过“相关圆”E 上任意一点 P 的直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两点.O 为 坐标原点，若 OA⊥OB，证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值，并求 m 的取值范围.
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[满分示范] 【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆 C：x22＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C
交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2，0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. 规范解答 (1)解 由已知得 F(1，0)，当 l 与 x 轴重合时，l 的方程为 x＝1. 把 x＝1 代入椭圆方程x22＋y2＝1，
y＝kx＋m， 联立方程组y22＋x2＝1 得(2＋k2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，
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Δ＝4k2m2－4(2＋k2)(m2－2)＝4(2k2－2m2＋4)>0，
即 k2－m2＋2>0，xx11＋ x2＝x2m＝k22＋－－2k222，＋km2，
y1y2
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当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1< 2，x2< 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2.8 分 由 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－32k（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 所以，x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21.10 分
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即 m≥ 36或 m≤－ 36，
综上，m
的取值范围是－∞，－
36∪
36，＋∞.
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得点
A
的坐标为1，
22或1，－
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又 M(2，0)，
所以 AM 的方程为 y＝－ 22x＋ 2或 y＝ 22x－ 2.
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(2)证明 当 l 与 x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.7 分
(kx1
＋
m)(kx2
＋
m)
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k2x1x2
＋
km(x1
＋
x2)
＋
m2
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k2（m2－2） k2＋2
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2k2m2 k2＋2
＋
m2
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2m2－2k2 k2＋2 .
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由条件OA⊥OB得x1x2＋源自文库1y2＝0，即3m2－2k2－2＝0，
所以原点 O 到直线 l 的距离是 d＝ 1|m＋| k2＝ 1＋m2k2， 由 3m2－2k2－2＝0 得 d＝ 36为定值. 又圆心到直线 l 的距离为 36，直线 l 与圆有公共点 P，满足条件. 由 Δ>0，即 k2－m2＋2>0，∴3m22－2－m2＋2>0 即 m2＋2>0， 又 k2＝3m22－2≥0，即 3m2≥2，所以 m2≥23，
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则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－2k122＋k3＋ 1 8k3＋4k＝0. 从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.12 分
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[高考状元满分心得] ❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问，求出点A的 坐标，第(2)问求kMA＋kMB＝0，判定MA，MB的倾斜角互补. ❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中求出直 线 AM 的方程，第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直，将直线 y＝k(x－1)与x22＋y2＝1 联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. ❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问求对点 M 坐标与 直线 AM 的方程；第(2)问中正确写出 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21， 求出 kMA＋kMB＝0，否则将导致失分.
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规范答题示范课——解析几何解答题
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[破题之道] 解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考 试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思 路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题 的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧 的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.
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@《创新设计》
解 (1)因为抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)， 依题意椭圆C的一个焦点为(0，1)，知c＝1， 又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形则b＝c＝1，a2＝b2＋c2 ＝2. 故椭圆 C 的方程为y22＋x2＝1，“相关圆”E 的方程为 x2＋y2＝23. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，