2. 二阶系统与高阶系统

1）取C=10uF时， ；2）取C=0.1uF（将U7、U9电路单元改为U10、U13）时， 。
5.2对于三阶系统实验（数据记录请见6.2.1~6.2.3节）
设计并组建该系统的模拟电路。当系统输入一单位阶跃信号时，在下列几种情况下，用上位软件观测并记录不同K值时的实验曲线。
（1）若K=5时，系统稳定，此时电路中的RX取100K左右；
由开环传递函数得到系统的特征方程为：
由劳斯判据得：0<K<12，系统稳定；K＝12，系统临界稳定；K>12，系统不稳定
其三种状态的不同响应曲线如图3-6的a)、b)、c)所示。
a）不稳定b）临界c）稳定
图3-6三阶系统在不同放大系数的单位阶跃响应曲线
4、实验设备
THBDC-2型控制理论·计算机控制技术实验平台；PC机一台(含“THBDC-2”软件)、USB数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB接口线。
(a)欠阻尼(0< <1) (b)临界阻尼( ) (c)过阻尼( )
图3-1二阶系统的动态响应曲线
虽然当 =1或 >1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取 =0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。
（2）二阶系统的典型结构
本实验是研究一个三阶系统的稳定性与其参数Ｋ对系统性能的关系。三阶系统的方框图和模拟电路图如图3-4、图3-5所示。
图3-4三阶系统的方框图
图3-5三阶系统的模拟电路图（电路参考单元为：U7、U8、U9、U11、U6）
系统开环传递函数为：
式中 =1s， ， ， ， ，（其中待定电阻Rx的单位为KΩ），改变Rx的阻值，可改变系统的放大系数K。
1）0< <1（欠阻尼），
此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图3-1的(a)所示。它的数学表达式为：
，式中 ， 。
2） （临界阻尼）
此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图3-1中的(b)所示。
3） （过阻尼），
此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图3-1的(c)所示。
2）可调电位器RX=70.7K时， =0.707，系统处于欠阻尼状态；
3）可调电位器RX=50K时， =1，系统处于临界阻尼状态；
4）可调电位器RX=25K时， =2，系统处于过阻尼状态。
（2） 值一定时，图2-4中取R=100K，RX=250K(此时 =0.2)。系统输入一单位阶跃信号，在下列几种情况下，用“THBDC-2”软件观测并记录不同 值时的实验曲线。
1.3通过实验，进一步理解线性系统的稳定性仅取决于系统本身的结构和参数，它与外作用及初始条件均无关的特性；
1.4研究系统的开环增益K或其它参数的变化对闭环系统稳定性的影响。
二、实验内容
2.1观测二阶系统的阻尼比分别在0< <1， =1和 >1三种情况下的单位阶跃响应曲线；
2.2调节二阶系统的开环增益K，使系统的阻尼比 ，测量此时系统的超调量 、调节时间ts(Δ=±0.05)；
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量为0，调整时间（±5%）为0.1197s.
6.1.5（ 一定，调节 ）可调电位器RX=250K，取C=10uF时，
图6-5单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量为65.92%，调整时间（±5%）为16.3067s.
6.1.6（ 一定，调节 ）可调电位器RX=250K，取C=0.1uF时，
6.2.4分析：根据测得三阶系统单位阶跃响应曲线，分析开环增益K对系统动态特性及稳定性的影响
答：开环增益K较小时，系统稳定；当K临界（本实验中K=12），系统振幅不变，临界稳定；当K较大，振幅发散，系统不稳定。
七、实验思考题
7.1如果阶跃输入信号的幅值过大，会在实验中产生什么后果？
答：随着阶跃的呼入信号增大，系统动态特性不变，不过若阶跃输入信号幅值过大，则运放进入非线性区，输出达到饱和，波形在幅值超过运放的最大线性输出的部分被“削顶”。
（2）若K=12时，系统处于临界状态，此时电路中的RX取42.5K左右(实际值为47K左右)；
（3）若K=20时，系统不稳定，此时电路中的RX取25K左右。
5.3实验报告要求
（1）画出二阶系统线性定常系统的实验电路，并写出闭环传递函数，表明电路中的各参数；
——实验电路请见图3-3，闭环传递函数请见6.1节开头，其它请见6.1.1~6.1.6节；
6.1.3（调节 ）可调电位器RX=50K时， =1，系统处于临界阻尼状态
图6-3单位阶跃响应的稳态与调整时间（5%），超调为零
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量为0，调整时间（±5%）为0.3871s.
6.1.4（调节 ）可调电位器RX=25K时， =2，系统处于过阻尼状态
图6-4单位阶跃响应的稳态与调整时间（5%），超调为零
2.3 为一定时，观测系统在不同 时的响应曲线。
2.4观测三阶系统的开环增益K为不同数值时的阶跃响应曲线。
3、实验原理
3.1对于二阶系统实验
（1）二阶系统的瞬态响应
用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为
(2-1)
闭环特征方程： ，其解 ，
针对不同的 值，特征根会出现下列三种情况：
6.2.2 K=12时，此时电路中的RX=47.7K，系统处于临界状态
图6-8三阶系统，临界稳定
实验结果：此时K=12，Rx=47.7K，振幅不变，系统临界稳定
6.2.3 K=20时，此时电路中的RX=25K，系统不稳定
图6-9三阶系统，不稳定
实验结果：此时K=20，Rx=25K，振幅发散，系统不稳定
实验报告
课程名称：控制理论（乙）指导老师：韦巍老师的助教成绩：_________________
实验名称：典型环节的电路模拟实验类型：控制理论实验同组学生姓名：
第二次课二阶系统与高阶系统的瞬态响应
一、实验目的
1.1通过实验了解参数 (阻尼比)、 (阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；
1.2掌握二阶系统动态性能的测试方法。
（2）根据测得二阶系统的单位阶跃响应曲线，分析开环增益K和时间常数T对系统的动态性能
——请见6.1.7节；
（3）画出三阶系统线性定常系统的实验电路，并写出其闭环传递函数，表明电路中的各参数；
——实验电路请见图3-5，闭环传递函数请见6.2节开头，其它请见6.2.1~6.2.2节；
（4）根据测得三阶系统单位阶跃响应曲线，分析开环增益K对系统动态特性及稳定性的影响；
5、实验步骤
5.1对于二阶系统实验（数据记录按顺序请见6.1.1~6.1.6节）
（1） 值一定时，取C=1uF，R=100K(此时 )，Rx阻值可调范围为0～470K。系统输入一单位阶跃信号，在下列几种情况下，用“THBDC-2”软件观测并记录不同 值时的实验曲线。
1）可调电位器RX=250K时， =0.2，系统处于欠阻尼状态；
——请见6.2.3节。
六、数据分析与处理
6.1对于二阶系统实验（6.1.1~6.1.6为实验数据，6.1.7为动态性能分析）
实验电路请见图3-3，另外说明：6.1.1~6.1.4为只调节 ，6.1.4~6.1.5为只调节 。
闭环传递函数： ，可得 ， ，
6.1.1（调节 ）可调电位器RX=250K时， =0.2，系统处于欠阻尼状态
6.2对于三阶系统实验（6.2.1~6.2.3为实验数据，6.2.4为动态性能分析）
实验电路请见图3-3，另外说明：6.1.1~6.1.4为只调节 ，6.1.4~6.1.5为只调节 。
闭环传递函数： ，其中开环传递函数
6.2.1 K=5时，此时电路中的RX=100K，系统稳定
图6-7三阶系统，稳定
实验结果：此时K=5，Rx=100K，振幅逐渐衰减，系统趋于稳定
图6-1单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）Байду номын сангаас
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量52.24%，调整时间（±5%）为1.3247s.
6.1.2（调节 ）可调电位器RX=70.7K时， =0.707，系统处于欠阻尼状态
图6-2单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量4.35%，调整时间（±5%）为0.4239s.
典型的二阶系统结构方框图和模拟电路图如3-2、3-3所示。
图3-2二阶系统的方框图
图3-3二阶系统的模拟电路图（电路参考单元为：U7、U9、U11、U6）
由图3-3可得其开环传递函数为：
，其中： ， ( ， )
其闭环传递函数为： ，可得 ，
3.2对于三阶系统实验
三阶系统及三阶以上的系统统称为高阶系统。一个高阶系统的瞬态响应是由一阶和二阶系统的瞬态响应组成。控制系统能投入实际应用必须首先满足稳定的要求。线性系统稳定的充要条件是其特征方程式的根全部位于S平面的左方。应用劳斯判断就可以判别闭环特征方程式的根在S平面上的具体分布，从而确定系统是否稳定。
7.2在电路模拟系统中，如何实现负反馈和单位负反馈？
答：实现负反馈——将运放接为负反馈，即将输出信号通过反馈环节接回运放反相输入端；单位负反馈——如右图7-1所示，令R1=R2即可。图7-1
7.3为什么本实验中二阶系统对阶跃输入信号的稳态误差为零？
答：首先，由第6.1节的传递函数可知，此二阶系统极点均在复平面的左半平面，因此它是稳定的，稳态误差有意义；进一步，因为存在积分环节，当系统达到稳态时，积分环节前的输入为零，所以K1/(T1s+1)之前的输入为零，因此有R(x)-C(s)=0，稳态误差为零。
图6-6单位阶跃响应的稳态、超调与调整时间（5%）
实验结果：
此时 ，
由光标读数，超调量为35.01%，调整时间（±5%）为0.1297s.
6.1.7分析：分析开环增益K和时间常数T对系统的动态性能影响
答：增加开环增益K会增加超调，调整时间不变；增加时间常数T1会增加超调和调整时间；增加时间常数T2会减小超调，调整时间不变。