离散数学第08章 环和域
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本定理表明<S，+，·>为<R，+，·>的子环 的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算 封闭。
由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再 含乘法幺元。
下面引进一种特殊的子环，称之为理想， 理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
定义8.2.2 设<T，+，·>为<R，+，·>的子 环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有 a·t∈T 且 t·a∈T ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的理想。
则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙> 的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈S， 便可得到下面定理。
定理8.2.1 给定环<R，+，·>及≠SR，则 <S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a， b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)
注意到子环与理想的定义，不难证明如下 定理：
定理8.2.2 给定环<R，+，·>及≠TR，则 <T，+，·>为环<R，+，·>的理想 (t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧
t·a∈T∧a·t∈T)
定义8.2.3 令<T，+，·>是环<R，+，·>之 理 想 ， 若 在 T 中 存 在 元 g ， 使 得 T=R·g ， 其 中 R·g={a·g|a∈R} ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或 说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。
定义8.1.3 给定环<R，+，·>，则环<S， +，·>中有零因子:=(a)(b)(a， b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0)
并称该环为含零因子环，a和b是零因子。 注意，零因子其自身非零也。
定 理 8.1.3 给 定 环 <R ， + ， ·> ， 则 <R ， +，·>为无零因子环<R，·>满足可约律。
第八章 环 和 域
8.1 环 8.2 子环与理想 8.3 环同态与环同构 8.4 域 8.5 有限域
退出
定义8.1.2 给定环<R，+，·>，若<R，·>是 可交换半群，则称<R，+，·>是可交换环；若 <R，·>是独异点，则称<R，+，·>是含幺环； 若<R，·>满足等幂律，则称<R，+，·>是布尔 环。
同理 -(a·b)=(-a)·b 推论1 (a)(b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b) 推论2 (a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(bc)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a)) 由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若 其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但 反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的 乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。
由环的定义知道，若<S，+>为群<R，+> 的子群，<S，+>是<R，·>的子半群，在R上乘 法对于加法分配律成立，则<S，+，·>是<R， +，·>的子环。显然由于SR而分配律、结合律 在R中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定 义如下：
若 (1)≠SR (2)<S，+>是<R，+>的子群 (3)S对·满足封闭性
定义8.1.4 给定可交换含幺环<R，+，·>， 若<R，+，·>无零因子，则称<R，+，·>为整环。
由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子 是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换定理8.1.4 给定含幺环<R，+，·>且 R≠{0}，则|R|≥2。
8.2 子环与理想
与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子 环。
定义8.2.1 给定环<R，+，·>和非空集合 SR ， 若 <S ， +> 是 <R ， +> 的 子 群 ， <S ， ·> 是 <R，·>的子半群，则称<S，+，·>是<R，+，·> 的子环。
这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡 子群和真子群类似。
显然，若<R，+，·>是可交换环，a·t∈S或 t·a∈S只要其一即可。
由定义可知，若<T，+，·>为理想，则R中 任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则 乘积必属于T。
当<S，+，·>是环<R，+，·>的子环时，要 求S对于乘法运算封闭；而当<T，+，·>是环<R， +，·>的理想时，要求更强的封闭性，即T对于 乘上R中任一元素的运算封闭。
定 理 8.2.5 若 <T ， + ， ·> 为 含 幺 环 <R ， +，·>之任一真理想，则T中任一元素均无乘法 逆元。
现在用R/T表示群<R，+>中T的所有不同陪 集的簇。首先定义R/T
(a+T)(b+T)=(a+b)+T 则<R/T，>是Abel群。 其次定义R/T中的乘法⊙如下：
(a+T)⊙(b+T)=(a·b)+T 则<R/T，⊙>是半群。
对于环<I，+，·>来说，它有个有趣的性质 即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证 定理。
定理8.2.3 设<L，+，·>为环<I，+，·>之理 想，则存在i∈I+，使得L=(i)。即<I，+，·>的每 个理想皆为主理想。
对于任一环的理想，读者不难证明下面定 理：
定理8.2.4 若<T1，+，·>与<T2，+，·>同为 环<R，+，·>之理想，则<T1∩T2，+，·>亦为环 <R，+，·>之理想。
通常用1表示<R，·>的幺元。在<R，·>中， 若a∈R的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。
定理8.1.1 <R,+,·>是环(a)(a∈R→a·0=0·a=0) 下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表 成a-b。 定 理 8.1.2 <R ， + ， ·> 是 环 (a)(b)(a ， b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b
定理8.2.6 若<T，+，·>是环<R， +，·>的理想，则<R/T，，⊙>是商 环。
８.３ 环同态与环同构
定义8.3.1 给定环<R，+，·>与<S，，
⊙ > ， 则 环 <R ， + ， ·> 环 <S ， ，
⊙
>:=(f)(f∈SR∧(a)(b)(a
由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再 含乘法幺元。
下面引进一种特殊的子环，称之为理想， 理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
定义8.2.2 设<T，+，·>为<R，+，·>的子 环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有 a·t∈T 且 t·a∈T ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的理想。
则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙> 的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈S， 便可得到下面定理。
定理8.2.1 给定环<R，+，·>及≠SR，则 <S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a， b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)
注意到子环与理想的定义，不难证明如下 定理：
定理8.2.2 给定环<R，+，·>及≠TR，则 <T，+，·>为环<R，+，·>的理想 (t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧
t·a∈T∧a·t∈T)
定义8.2.3 令<T，+，·>是环<R，+，·>之 理 想 ， 若 在 T 中 存 在 元 g ， 使 得 T=R·g ， 其 中 R·g={a·g|a∈R} ， 则 称 <T ， + ， ·> 为 环 <R ， +，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或 说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。
定义8.1.3 给定环<R，+，·>，则环<S， +，·>中有零因子:=(a)(b)(a， b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0)
并称该环为含零因子环，a和b是零因子。 注意，零因子其自身非零也。
定 理 8.1.3 给 定 环 <R ， + ， ·> ， 则 <R ， +，·>为无零因子环<R，·>满足可约律。
第八章 环 和 域
8.1 环 8.2 子环与理想 8.3 环同态与环同构 8.4 域 8.5 有限域
退出
定义8.1.2 给定环<R，+，·>，若<R，·>是 可交换半群，则称<R，+，·>是可交换环；若 <R，·>是独异点，则称<R，+，·>是含幺环； 若<R，·>满足等幂律，则称<R，+，·>是布尔 环。
同理 -(a·b)=(-a)·b 推论1 (a)(b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b) 推论2 (a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(bc)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a)) 由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若 其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但 反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的 乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。
由环的定义知道，若<S，+>为群<R，+> 的子群，<S，+>是<R，·>的子半群，在R上乘 法对于加法分配律成立，则<S，+，·>是<R， +，·>的子环。显然由于SR而分配律、结合律 在R中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定 义如下：
若 (1)≠SR (2)<S，+>是<R，+>的子群 (3)S对·满足封闭性
定义8.1.4 给定可交换含幺环<R，+，·>， 若<R，+，·>无零因子，则称<R，+，·>为整环。
由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子 是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换定理8.1.4 给定含幺环<R，+，·>且 R≠{0}，则|R|≥2。
8.2 子环与理想
与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子 环。
定义8.2.1 给定环<R，+，·>和非空集合 SR ， 若 <S ， +> 是 <R ， +> 的 子 群 ， <S ， ·> 是 <R，·>的子半群，则称<S，+，·>是<R，+，·> 的子环。
这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡 子群和真子群类似。
显然，若<R，+，·>是可交换环，a·t∈S或 t·a∈S只要其一即可。
由定义可知，若<T，+，·>为理想，则R中 任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则 乘积必属于T。
当<S，+，·>是环<R，+，·>的子环时，要 求S对于乘法运算封闭；而当<T，+，·>是环<R， +，·>的理想时，要求更强的封闭性，即T对于 乘上R中任一元素的运算封闭。
定 理 8.2.5 若 <T ， + ， ·> 为 含 幺 环 <R ， +，·>之任一真理想，则T中任一元素均无乘法 逆元。
现在用R/T表示群<R，+>中T的所有不同陪 集的簇。首先定义R/T
(a+T)(b+T)=(a+b)+T 则<R/T，>是Abel群。 其次定义R/T中的乘法⊙如下：
(a+T)⊙(b+T)=(a·b)+T 则<R/T，⊙>是半群。
对于环<I，+，·>来说，它有个有趣的性质 即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证 定理。
定理8.2.3 设<L，+，·>为环<I，+，·>之理 想，则存在i∈I+，使得L=(i)。即<I，+，·>的每 个理想皆为主理想。
对于任一环的理想，读者不难证明下面定 理：
定理8.2.4 若<T1，+，·>与<T2，+，·>同为 环<R，+，·>之理想，则<T1∩T2，+，·>亦为环 <R，+，·>之理想。
通常用1表示<R，·>的幺元。在<R，·>中， 若a∈R的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。
定理8.1.1 <R,+,·>是环(a)(a∈R→a·0=0·a=0) 下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表 成a-b。 定 理 8.1.2 <R ， + ， ·> 是 环 (a)(b)(a ， b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b
定理8.2.6 若<T，+，·>是环<R， +，·>的理想，则<R/T，，⊙>是商 环。
８.３ 环同态与环同构
定义8.3.1 给定环<R，+，·>与<S，，
⊙ > ， 则 环 <R ， + ， ·> 环 <S ， ，
⊙
>:=(f)(f∈SR∧(a)(b)(a