第五章插值与拟合方法
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某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）
日期 20000101 20000102 日用水量 122.1790 128.2410
…… ……
20061230 20061231 150.40168 148.2064
2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
值见前表，需经拟合求出参数k、v
用线性最小二乘拟合c(t)
c(t) d ekt ln c ln(d / v) kt v
y ln c, a1 k, a2 ln(d / v)
k
y a1t a2 a1, v d /
ea2
程序：d=300;
t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];
城市供水量预测 用数值方法进行预测时，一般是根据数据的散点
图特征采用插值或拟合来实现。
用插值方法预测2007年1月份城市的用水量 预测2007年1月份城市的用水量有两种办法：一
是先预测1月份每天的日用水量，求和后即得到1月用 水总量；二是直接用2000-2006每年1月份的总用水量 来预测。
1.用06年每天的日用水量预测
• 血药浓度c(t) 应c1 c(t) c2
0
t
• 初次剂量D0 应加大
给药方案记为：D0, D,
1、 D0 c2 , D (c2 c1)
c1=10,c2=25
2、c1
c2e
k
1
ln
c2
k c1
k=0.2347 v=15.02
计算结果：D0 375 .5, D 225 .3, 3.9
给药方案：D0 375(mg ), D 225(mg ), 4(h)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
101
0百度文库
图如图2.7.1所示。设插值多项式为 f (x)，则07年1月1日的日用水 量的预测值即为 f (x) 在 x 366 处的函数值。
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
x=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; y=[19.21 18.15 15.36 14.
10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];
plotc(x,y,'--o') c2
c(t) c0ekt c, k为待定系数
c1
0
算术坐标系统:就是普通的笛卡儿坐标，横纵的刻 度都是是等距的
对数坐标：坐标轴是按照相等的指数变化来增加的，
（举例来说：如果每1cm代表10的1次方增加，则坐标轴 刻度依次为1，10，100，1000，10000……）
半对数坐标系统：只有一个坐标轴是对数坐标，另一
个是普通算术坐标。
半对数曲线:主要用于成对数或指数变化的数据的分析.
如y=lnx(t),在算术坐标系是曲线,而在半对数坐标系统中为 一直线,这样便于对试验数据的分析研究.
根据一组（二组）数据，即平面上的若干点， 确定一个一元函数，即曲线，使这些节点与曲线总 体来说尽量接近，这就是曲线拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造 一个函 数作为近似，由于近似的要求不同，二者的 数学方法是完全不同的。
数据插值拟合MATLAB命令
✓ 多项式插值和拟合 p=polyfit(x,y,k): 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返
c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c);
a=polyfit(t,y,1) k=-a(1) v=d/exp(a(2))
计算结果：k 0.2347(1/ h), v 15.02(l)
给药方案 设计
c2 c
• 设每次注射剂量D, 间隔时间 c1
插值引例1
在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得 的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22， 25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。
hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %作图 xlabel(Hour’)； ylabel('Degrees Celsius’)
用水 4032． 4186． 4296． 4374． 4435． 4505． 4517．
量
41 0254 9866 852 2344 4274 6993
利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学 模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日 用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。 但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据 历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息 求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。下面利用插值法 和数据拟合方法给出该城市供水量的预测。
故可制定给药方案：
D0 375 (mg ), D 225 (mg ), 4(h)
即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的间隔时间为4小时。
插值拟合实例1：城市供水量的预测问题
实际问题与背景： 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录
估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未 来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历 史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨/日）。如何充 分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用 水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划
数据拟合与插值建模
插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确定某类 函数的参数或寻找某个近似函数，使所得的函数与已 知数据具有较高的精度，并且能够使用数学分析的工 具分析数据所反映的对象的性质．
几种常用的方法： 分段线性插值：将各数据点用折线连接起来 多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假 设出多项式的系数，最后通过求解方程得到每个系数 样条插值：分段多项式的光滑连接
回多项式的降幂系数。当k>n-2时，该命令实现多 项式插值 ✓ 一元插值 yi=interp1(x,y,xi)：根据数据(x,y)给出在xi的分段线性 插值结果yi yi=interp1(x,y,xi,’spline’)：使用三次样条插值 yi=interp1(x,y,xi,’cubic’)：使用分段三次插值 ✓ 二元插值 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)：二维插值
拟合引例1
有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组 温度T和电阻R数据。
现在想知道 600 c 时的电阻多大。
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下，看看电阻 R和温度T之间大致有什么关系（R与T大致呈直线关系）， 中学物理学过，金属材料的电阻率与温度成正比，从而 确定R与T的关系应该是
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随 时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：
在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注 入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得 血药浓度c(ug/ml)如下表:
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
R=at+b 其中a，b为待定常数。
clear all
x=[20.5 32.7 51.0 73.0 95.7];
y=[765 826 873 942 1032];
p=polyfit(x,y,1);
xx=1:1:100;
for i=1:100
正是由于测量误差的存在，由R= at+b表示的直线
不可能通过全部5个点，所以，与插值曲线要通过全 部节点不同，作一条尽量靠近所有的点的直线，求
以预测07年1月1日为例，由于数据量过大，07年1月的用水量与
前一年相关性大，而与2000-2005年用水量的相关性不大。故仅用
06年全部365天的日用水量作为插值节点(xi , yi )(i 1, 2,...,365) ，其中
xi i ，表示第i天，yi 即为第i天的日用水量（万吨/日）。其散点
0
t
模型假设
1. 机体看作一个房室，室内血药浓度均匀——一室模型 2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(>0) 3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v.
模型建立
由假设2得：dc -kc dt
由假设3得：c(0) d/
c(t)
d v
ekt
在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的
10
0
2
4
6
8
给药方案 — 拟 合 实 例 1
一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断 地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的 浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室， 室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立 即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预 期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒 或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效 浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要 使血药浓度 保持在c1~c2之间。本题设c1=10， c2=25(ug/ml).
插值引例2
某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播 测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时 间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。 试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1 米处的温度TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=[0:30:60]'; T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41]; xi=[0:10]; hi=[0:20:60]'; TI=interp2(x,h,T,xi,hi) mesh(x,h,T),hold, mesh(xi,hi,TI+100)
给药方案
问 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度 题 （单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设 计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
• 实验：对血药浓 c
分 析
度数据作拟合，符
c2
合负指数变化规律
c1
• 理论：用一室模型研
究血药浓度变化规律
最小二乘拟合：求参数c，使得用含有c的函数f(x,c)
对应的残差达到最小
插值最初来源于天体计算——由若干观测值（即节点） 计算任意时刻星球的位置（即插值点和插值）——的需要。 现在，虽然人们已很少需要用它从函数表计算函数值了， 但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科 学研究中有着许多直接的应用，另一方面，插值又是数值 微分、数值积分、常微分方程数值等数值计算的基础。
出a，b待定常数，由此计算t= 600的c R就十分简单
了。
拟合引例 2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
第五章插值与拟合方法
09数学与应用数学
建模中的数据资料
作为一个模型，它要与模型的实际背景接轨，而数据 资料就是数学模型与现实问题接轨的重要途径和手段。 因此在建模过程中处理好数据资料和模型的关系是非常 重要的。
在建模的过程中数据资料以下面几种方式对数学模 型起作用： （1）在建模过程中，特别是在建模的初期数据资料能够 对所构架的模型给出提示。有些模型（我们称之为经验 模型）则是完全建立在数据的基础上的。 （2）数据可以用来对模型的参数给出估计。 （3）数据资料还可以用于检验模型的效果。
日期 20000101 20000102 日用水量 122.1790 128.2410
…… ……
20061230 20061231 150.40168 148.2064
2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
值见前表，需经拟合求出参数k、v
用线性最小二乘拟合c(t)
c(t) d ekt ln c ln(d / v) kt v
y ln c, a1 k, a2 ln(d / v)
k
y a1t a2 a1, v d /
ea2
程序：d=300;
t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];
城市供水量预测 用数值方法进行预测时，一般是根据数据的散点
图特征采用插值或拟合来实现。
用插值方法预测2007年1月份城市的用水量 预测2007年1月份城市的用水量有两种办法：一
是先预测1月份每天的日用水量，求和后即得到1月用 水总量；二是直接用2000-2006每年1月份的总用水量 来预测。
1.用06年每天的日用水量预测
• 血药浓度c(t) 应c1 c(t) c2
0
t
• 初次剂量D0 应加大
给药方案记为：D0, D,
1、 D0 c2 , D (c2 c1)
c1=10,c2=25
2、c1
c2e
k
1
ln
c2
k c1
k=0.2347 v=15.02
计算结果：D0 375 .5, D 225 .3, 3.9
给药方案：D0 375(mg ), D 225(mg ), 4(h)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
101
0百度文库
图如图2.7.1所示。设插值多项式为 f (x)，则07年1月1日的日用水 量的预测值即为 f (x) 在 x 366 处的函数值。
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
x=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; y=[19.21 18.15 15.36 14.
10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];
plotc(x,y,'--o') c2
c(t) c0ekt c, k为待定系数
c1
0
算术坐标系统:就是普通的笛卡儿坐标，横纵的刻 度都是是等距的
对数坐标：坐标轴是按照相等的指数变化来增加的，
（举例来说：如果每1cm代表10的1次方增加，则坐标轴 刻度依次为1，10，100，1000，10000……）
半对数坐标系统：只有一个坐标轴是对数坐标，另一
个是普通算术坐标。
半对数曲线:主要用于成对数或指数变化的数据的分析.
如y=lnx(t),在算术坐标系是曲线,而在半对数坐标系统中为 一直线,这样便于对试验数据的分析研究.
根据一组（二组）数据，即平面上的若干点， 确定一个一元函数，即曲线，使这些节点与曲线总 体来说尽量接近，这就是曲线拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造 一个函 数作为近似，由于近似的要求不同，二者的 数学方法是完全不同的。
数据插值拟合MATLAB命令
✓ 多项式插值和拟合 p=polyfit(x,y,k): 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返
c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c);
a=polyfit(t,y,1) k=-a(1) v=d/exp(a(2))
计算结果：k 0.2347(1/ h), v 15.02(l)
给药方案 设计
c2 c
• 设每次注射剂量D, 间隔时间 c1
插值引例1
在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得 的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22， 25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。
hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %作图 xlabel(Hour’)； ylabel('Degrees Celsius’)
用水 4032． 4186． 4296． 4374． 4435． 4505． 4517．
量
41 0254 9866 852 2344 4274 6993
利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学 模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日 用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。 但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据 历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息 求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。下面利用插值法 和数据拟合方法给出该城市供水量的预测。
故可制定给药方案：
D0 375 (mg ), D 225 (mg ), 4(h)
即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的间隔时间为4小时。
插值拟合实例1：城市供水量的预测问题
实际问题与背景： 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录
估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未 来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历 史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨/日）。如何充 分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用 水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划
数据拟合与插值建模
插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确定某类 函数的参数或寻找某个近似函数，使所得的函数与已 知数据具有较高的精度，并且能够使用数学分析的工 具分析数据所反映的对象的性质．
几种常用的方法： 分段线性插值：将各数据点用折线连接起来 多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假 设出多项式的系数，最后通过求解方程得到每个系数 样条插值：分段多项式的光滑连接
回多项式的降幂系数。当k>n-2时，该命令实现多 项式插值 ✓ 一元插值 yi=interp1(x,y,xi)：根据数据(x,y)给出在xi的分段线性 插值结果yi yi=interp1(x,y,xi,’spline’)：使用三次样条插值 yi=interp1(x,y,xi,’cubic’)：使用分段三次插值 ✓ 二元插值 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)：二维插值
拟合引例1
有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组 温度T和电阻R数据。
现在想知道 600 c 时的电阻多大。
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下，看看电阻 R和温度T之间大致有什么关系（R与T大致呈直线关系）， 中学物理学过，金属材料的电阻率与温度成正比，从而 确定R与T的关系应该是
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随 时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：
在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注 入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得 血药浓度c(ug/ml)如下表:
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
R=at+b 其中a，b为待定常数。
clear all
x=[20.5 32.7 51.0 73.0 95.7];
y=[765 826 873 942 1032];
p=polyfit(x,y,1);
xx=1:1:100;
for i=1:100
正是由于测量误差的存在，由R= at+b表示的直线
不可能通过全部5个点，所以，与插值曲线要通过全 部节点不同，作一条尽量靠近所有的点的直线，求
以预测07年1月1日为例，由于数据量过大，07年1月的用水量与
前一年相关性大，而与2000-2005年用水量的相关性不大。故仅用
06年全部365天的日用水量作为插值节点(xi , yi )(i 1, 2,...,365) ，其中
xi i ，表示第i天，yi 即为第i天的日用水量（万吨/日）。其散点
0
t
模型假设
1. 机体看作一个房室，室内血药浓度均匀——一室模型 2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(>0) 3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v.
模型建立
由假设2得：dc -kc dt
由假设3得：c(0) d/
c(t)
d v
ekt
在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的
10
0
2
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给药方案 — 拟 合 实 例 1
一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断 地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的 浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室， 室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立 即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预 期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒 或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效 浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要 使血药浓度 保持在c1~c2之间。本题设c1=10， c2=25(ug/ml).
插值引例2
某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播 测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时 间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。 试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1 米处的温度TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=[0:30:60]'; T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41]; xi=[0:10]; hi=[0:20:60]'; TI=interp2(x,h,T,xi,hi) mesh(x,h,T),hold, mesh(xi,hi,TI+100)
给药方案
问 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度 题 （单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设 计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
• 实验：对血药浓 c
分 析
度数据作拟合，符
c2
合负指数变化规律
c1
• 理论：用一室模型研
究血药浓度变化规律
最小二乘拟合：求参数c，使得用含有c的函数f(x,c)
对应的残差达到最小
插值最初来源于天体计算——由若干观测值（即节点） 计算任意时刻星球的位置（即插值点和插值）——的需要。 现在，虽然人们已很少需要用它从函数表计算函数值了， 但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科 学研究中有着许多直接的应用，另一方面，插值又是数值 微分、数值积分、常微分方程数值等数值计算的基础。
出a，b待定常数，由此计算t= 600的c R就十分简单
了。
拟合引例 2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
第五章插值与拟合方法
09数学与应用数学
建模中的数据资料
作为一个模型，它要与模型的实际背景接轨，而数据 资料就是数学模型与现实问题接轨的重要途径和手段。 因此在建模过程中处理好数据资料和模型的关系是非常 重要的。
在建模的过程中数据资料以下面几种方式对数学模 型起作用： （1）在建模过程中，特别是在建模的初期数据资料能够 对所构架的模型给出提示。有些模型（我们称之为经验 模型）则是完全建立在数据的基础上的。 （2）数据可以用来对模型的参数给出估计。 （3）数据资料还可以用于检验模型的效果。