1.2余弦定理

课题: 1．1．2余弦定理

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【教学过程】

[创设情景] C

如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b 和∠C ，求边c b a

A c B

(图1．1-4)

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c

()()

2

22

2 2c c c a b a b

a a

b b a b a b a b

=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B

从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)

同理可证 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求

出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】

例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B

=222+-⋅cos 045

=2121)+- =8

∴=b

求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos 2222221

,

22+-=

=b c a A bc

∴0

60.=A

解法二：∵sin 0sin sin45,

=a A B b

2.4 1.4

3.8,+=

21.8 3.6,⨯=

∴a ＜c ，即00＜A ＜090,

∴0

60.=A

评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 【变式训练1】

．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=

解： 222222

1,,cos ,1202

a c

b b

c b c a bc A A -=++-=-=-= 例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

例 3. 例 2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322

=+-x x 的两根，

()1cos 2=+B A 。

（1） 求角C 的度数； （2） 求AB 的长； （3）求△ABC 的面积。

解：(1) ()cos cos[]C A B π=-+

()cos A B =-+011202

C =-⇒=

（2）因为a ，b 是方程02322

=+-x x 的两根，所以⎩⎨⎧==+2

3

2ab b a

22202cos120AB b a ab ∴=+- ()2

10a b ab AB =+-=⇒= （3）2

3sin 21==

∆C ab S ABC 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求

出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 【变式训练2】

在△ABC 中，0120,,ABC

A c b a S =>==，求c b ,。

解：1

sin 4,2

ABC S bc A bc ∆=

== 2

2

2

2cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b >

所以4,1==c b 【课堂演练】

1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0

90 B ．0

120 C ．0

135 D ．0

150

解： 设中间角为θ，则22200005871

cos ,60,180601202582

θθ+-=

==-=⨯⨯为所求 答案：B

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形

解：长为6的边所对角最大，设它为， 则