正弦定理教学设计

必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计

四川省简阳中学张秀宜

一．教学内容分析

本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学（5）》（人教A版）第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况，我将《正弦定理》划分为两个课时，这是第一课时。正弦定理的主要内容是用正弦定理解三角形，是典型的用代数方法解决几何问题的类型，在生活、测绘中有广泛的应用。提出一个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。。在教学过程中，引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形；

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二．学生学习情况分析

正弦定理是学生在必修（4）已经系统学习了三角函数，明确了三角函数基本概念，而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，得出正弦定理。

三．设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。在本节课的教学中，我努力做到以下两点：

（1）在课堂中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学

的方法。

四．教学目标

（1）掌握正弦定理，能用其解三角形；同时能用其解决一些和测量有关的实际问题

（2）经历猜想、证明、发现正弦定理的过程，培养学生的创新意识和探究意识

（3）通过学生之间、师生之间的探究、合作、交流，实现教学相长的教学情境

五．教学重点与难点

教学重点：正弦定理的证明及应用

教学难点：（1）正弦定理的证明（2）运用正弦定理解已知“两边及一对角”的三角形

【教学诊断：由于学生年龄、思维结构的限制，知识从理论到应用对学生来说是比较困难的；另外，已知“两边及一对角”，三角形形状不确定；所以，确定以上教学难点。同时，在教学过程中，带领学生共同分析思路，结合图形一起探究，尽量做到把知识直观地展现在学生面前，帮助学生化解本节难点。】

六．教学过程

1.创设情境，引入新知

师：“锄禾日当午，汗滴禾下土”，我想说明了……中午的太阳很大,太阳离我们多远，你能不能测出来。你测不了，因为路太远，去不到，那选一个近的。

师：甲同学在A 岸，对岸有一B 点，你能不能把A 、B 间的距离测出来？

【学情预设：师生共同探讨发现直接测测不了，只能寻求构造图形侧另一些量来求出AB 了】

师：目前我们能够测出哪些量?

【学情预设：学生可能说出很多可以测出的量，包括A 岸的距离和角】 师：能测A 岸的距离，以及角，你能想到构造一个什么图形来求出AB 吗？ 【学情预设：构造直角三角形，由直角三角形边角关系可求AB 】

师：地理环境千变万化，C 处恰好就是一水塘，还能以AO 为边构造直角三角形吗，还能求出AB 吗?

【学情预设：学生发现此时不行了】

师：在AO 上另选一点，也可以测出相应的距离和角，这是还能在1ABC 中求出AB 吗?进一步说，任意三角形边角之间有关系吗？什么关系？

引入课题：正弦定理。

【设计意图：从生活中的问题出发，有助于激起学生的兴趣，激发学生学习新知的兴趣和欲望；同时，让学生感受数学存在于生活中，渗透简单的数学建模思想】

2.师生互动，探索新知

（1）任意给出△ABC ，请学生观察出最大的边和角。 【学情预设：学生发现大角对大边】

师：大角对大边说明边与对角有关系，什么关系，能否量化？ （2）给△ABC 三边附一组值3,4,5；发现△ABC 是直角三角形，得：

1

请学生观察边和对角之间有什么关系。

【学情预设：学生能发现 】

师：在任意三角形中，这一组等式还成立吗？ 给学生3分钟时间，结合教材，自主思考，分组讨论。

【设计意图：从三角形大角对大边入手，到一个特殊三角形满足 ,进而

引申到任意三角形中的情况，知识的展现由易到难，学生接受更有梯度；同时，将课堂主动权交还给学生，自主探索发现正弦定理】

【学情预设：学生结合教材、相互探讨之后能够发现这一等式直角三角形里成立】 当△ABC 是直角三角形时，请学生说出证明过程，教师演示。 证：

师：证明了直角三角形的情况，还需要证明锐角三角形和钝角三角形的情况。 当△ABC 是锐角三角形时，证明相对复杂，所以教师把证明拆分成多个小问题，依次逐步向学生提问，在问题中解决证明。

①需要证明几个等式，可以怎么组合？ （不妨先证明a b =sin sin A B

） ②前边学习了直角三角形中边角关系，这里有没有直角三角形？ 怎么产生直角三角形？

③需要找那些量的关系？这些量在哪些三角形里出现了？

④△BCD 、△ACD 有什么关系？能不能建立这些量的关系？怎么建立？

【学情预设：在教师引导下，发现以CD 为中间量，找到等式a ﹒sinB=b ﹒sinA ，进而变形即得

a b

=sin sin A B

】 【学情预设：学生发现只需再证明b =sin sin c B C 或=sin sin a c A C

即可，同时经历了以上证明，学生能够观察出只需要再做一高AE ，同理可证b =sin sin c B C

】 当△ABC 为锐角三角形时，证完。

sin sin sin a

b

c

A B C ==sin sin sin a b c

A B C ==

sin a

A c

=

⇔sin a c A =sin sin a b

c A B

==sin 1

C =sin sin sin a b c A B C

==

D

E

B

A

C

a b

4sin 1

C =5

sin 5

B =

c=5

b=4

a=3

3sin A =

sin b c B =b sin b

B c

=⇔