8.相似原理与量纲分析

p Cp p
g Cg g
vy v Cv v x z 0 Cl x y z
Cv 任意数 Cl
相似准数的导出
2v p v v v v 2v 2v x x x x x x x v v v x y z x2 y2 z2 x g x y z 2v 2v p 2v v v v v x x x x x x x v v v x y z x2 y2 z2 x g x y z
C
Cv C 1 Cl
约束关系
Cv v
相似准数
相似指标
动力相似
8.1 相 似 的 基 本 概 念
运动物体符合牛顿运动定律：
dv f m d dv dv f m f m d d
ff ff Ne m v m m v m v v
2 2
1
LT
1 a1
ML T L ML
1 2 b1
3 c1
利用基本物理量分别与其它物 理量组合成一个无量纲的量： 2 v a l b c
3
4
g v l
a3 b3
2
p Eu v 2 1 2 vl Re
1
物理相似转化为 几何相似
运动相似
8.1 相 似 的 基 本 概 念
如物体做匀速运动：
v l v l
v
l

v v l l v l
相似变换
v Cv v
l Cl l
Cl l C C CvC Cl
Eu f Ho, Re, Fr
i 1,2,, m,, n
8.4 量 纲 分 析
相似准数
定解问题通过相 似变换方法获得
能写出微分 方程的问题
量纲分析法
从所研究问题包含的物理量的量纲着手，运 用形式逻辑推理来研究问题的一种方法 理论根据：物理方程量纲的一致性
特点：不必深入研究内部过程的细节，只需了解 过程遵守的基本定律； 边界上哪些物理量有重要作用； 定解条件中包含哪些物理量。
4) 确定无量纲量的表达式：
c3
5) 写出准数方程:

v a4 l b4 c4
gl Fr 2 v v 4 Ho l
3
定理：对于某个物理现象可给出的无量纲的综 f Ho, Re, Fr, Eu 0 合数群的个数，等于影响该现象的全部物理量的 个数减去用以表达这些物理量的基本量的个数。
8.2 流 体 流 动 过 程 中 相 似 准 数 的 导 出
相似变换
C
C Cv C
x y z l Cl x y z l g C Cg g
v v v y x z Cv v v v x y z
分析实际问题与实验模型相似的条件；
相似的概念来自于几何学，三角形相似就是典型的相似问题，物理 现象相似首先要求几何相似，其它条件：相似常数、相似指标、相 似准数等
三角形相似
a1 b1 c1 CL12 a2 b2 c2 a1 b1 c1 CL13 a3 b3 c3
8.1 相 似 的 基 本 概 念
量纲
物理量所属的种类，反映物理量的本质，与单位之 间存在密切的联系，又有一定的区别。
8.4 量 纲 分 析
量纲表达式
导出量与基本量之间的关系式。
规则： I. II. III.
C A B
C
A B
C An
C A B C A B C An
量纲指数
2vx 2vx 2vx p vx vx vx vx vx x v y y vz z x 2 y 2 z 2 x g 2v p v v v v 2v 2v x x x x x x v v 2x x y z 2 2 v x g x y z x y z 2v 2v p 2v v v v v x x x x x x x v v v x x y y z z x2 y2 z2 x g
Cv C 1 Cl C g Cl 1 Cv2
v v v Ho l l l g l g l gl 2 2 Fr 2 v v v
均时性数
弗劳德数
欧拉数 雷诺数
② ②
④ ③
Cp C C
2 v
1
p p p Eu v2 v2 v 2
1
p
a1 b1 c1
1
LT
1 a1
ML T L ML
1 2 b1
3 c1
v l 利用基本物理量分别与其它物 理量组合成一个无量纲的量： 2 a b
1 a1 b1 3c1 1 c1 2 a1
4) 确定无量纲量的表达式： 5) 写出准数方程
C CvCl C
1
vl vl vl Re
相似准数的性质
8.2 流 体 流 动 过 程 中 相 似 准 数 的 导 出
均时性数 弗劳德数
Ho
v l l v
整个系统流动过程进行时间与流体质点通过系 统中某一定性尺寸距离所需要的时间的比值 重力位能与动能的比值或重力与惯性力的比值
8.相似原理及量纲分析
目
源自文库
8.1 相似的基本概念
8.2 流体流动过程中相似准数的导出
录
8.3 相似三定律
8.4 量纲分析
8.5 模型研究法
8.1 相 似 的 基 本 概 念
物理规律
相似模型的设计
直接实验法
理论分析法
模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结构；
量纲和谐原理
在一个有意义的方程中，任意两项的量纲都必须相同。
8.4 量 纲 分 析
量纲分析法推导相似准数
步骤： 1) 2) 3)
以不可压缩粘性流体的等温流动为例 f v, l , p, , , g , 0
写出影响现象的所有因素： 选取基本物理量，其量纲独立：
v, l ,

0 g 2l 3 0 g 0 l 3 Ga Ar 2 2 1 1 2 相似准数的和与差仍为相似准数 1 g l 2 g l 2 2 1
牛顿数
相似变换
f C f f
v Cv v
m Cm m
C
C f C CmCv 1
相似指标
C
相似准数的导出
vx v y vz 0 x y z v v v y x z 0 x y z v v v y x z 0 x y z
相似准数的转换
相似准数的n次方仍为相似准数 相似准数的乘积仍为相似准数 相似准数乘以无量纲数仍为相似准数
1 gl 2 Fr v 2 gl vl g 2l 3 2 Fr Re 2 Ga 2 v
1
8.4 量 纲 分 析
b1
c1
⑴
b2
a b c CL a b c
⑵
c2
b3
⑶
c3
a1
a2
a3
相似常数
物理现象相似时，空间相对应的点与时间相对应的瞬间，表征该现象特 征的所有物理量必然各自保持一定的比例关系：
xi Cxi xi
相似变换
w2 w3 w1 Cw w2 w3 w1
相似第三定律
8.3 相 似 三 定 律
描述某现象的各种量之间的关系式可以表示成相似准数方程之间的 函数关系，这种关系式称为准数方程，即 F 1, 2 ,, n 0 任何定解问题的积分结果都可以表示成准数方程的形式； 便于实验
未定i fi 1已定 , 2已定 ,, m已定
Fr
gl gl v 2 v 2
欧拉数 雷诺数
Eu
p v 2
流体压力与惯性力的比值
vl v 2 Re 流体惯性力与粘性力的比值 v l
相似第一定律
8.3 相 似 三 定 律
彼此相似的现象必具有数值相同的同名相似准数
定解问题相似
必为同类现象，必须服从自然界中同一基本规律 必须发生在几何相似的空间，并且具有相似的初、边值条件
描述物性的参量必须具有相似的变化规律
相似第二定律
8.3 相 似 三 定 律
凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量 所组成的相似准数在数值上相等，那么这些现象必相似。
现象相似的充要条件
同类现象，形式相同的控制方程组－－第一个必要条件 定解条件相似－－第二个必要条件 独立相似准数在数值上相等－－第三个必要条件
v v v y x z Cv v v v x y z
8.2 流 体 流 动 过 程 中 相 似 准 数 的 导 出
相似变换
x y z l Cl x y z l C C
C
v 2 l 2 c2 g 3 a3 b3 c3 v l
4

v a4 l b4 c4
1
p Eu 2 v
量纲分析法推导相似准数
以不可压缩粘性流体的等温流动为例
8.4 量 纲 分 析
1) 2) 3)
写出影响现象的所有因素： 选取基本物理量，其量纲独立： 1
p v a1 l b1 c1
C
p Cp p
C Cv2 v C Cv 2v C p p v v v 2v 2v x x x x x x x v v v x y z 2 x x2 y2 z2 C x C Cg g Cl y z C l l
C Cv C

C Cv2 Cl

C Cv C
2 l

Cp Cl
C Cg
相似准数的导出
C Cv C ① C Cv2 Cl ② C Cv Cl2 ③ Cp Cl ④
8.2 流 体 流 动 过 程 中 相 似 准 数 的 导 出



C Cg
⑤
相似指标
① ②

② ⑤