多目标优化问题近似解的最优性条件
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第３７卷第９期 西 南 大 学 学 报 (自然科学版) ２０１５年９月
Vol������３７ No������９
JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition)
Sep������ ２０１５
DOI:１０������１３７１８/j������cnki������xdzk������２０１５������０９������０１５
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义２ [８,１１] 设ε ≥０,C 为coＧradiant点集, ������ 如果(f(x０)－C(ε))∩f(S)⊂ {f(x)},则x０ 是(MOP)的关于 C 的ε 有效解． ������ 如果(f(x０)－intC(ε))∩f(S)＝Ø ,则x０ 是(MOP)的关于 C 的ε 弱有效解． ������ 如果clcone(f(S)＋C(ε)－f(x０))∩ (－C(ε))⊂ {０},则x０ 是(MOP)的关于C 的εＧBenson真 有效解． 记问题(MOP)关于C 的ε 有效解、ε 弱有效解和ε 真有效解分别为AE(f,C,ε),WAE(f,C,ε) 和 PAE(f,C,ε)． 定义３ 设ε ≥０,C 为coＧradiant点集, ������ 如果(f(x０)－C(ε))∩f(S ∩ B)⊂ {f(x)},则x０ 是(MOP)的关于 C 的局部ε 有效解． ������ 如果(f(x０)－intC(ε))∩f(S ∩B)＝Ø ,则x０ 是(MOP)的关于C 的局部ε 弱有效解,其中B 为x０ 的球形领域． 记问题(MOP)关于C 的局部ε 有效解、局部ε 弱有效解分别记为LAE(f,C,ε)和LWAE(f,C,ε)． 定义４[１３] 集合 X 在x ∈ X 处的切锥定义为:
x ≤qy⇔y －x ∈ Rn＋ 考 虑 如 下 多 目 标 优 化 问 题 (M OP):
min{f(x):x ∈S} 其中:S ⊂ Rn 是非空子集,f:S → Rm ．
定义１[８] 如果对任意的d ∈ C,任意的α ≥１,有αd ∈ C,则称 C 为coＧradiant集． 令 C(ε)＝εC,∀ε ＞０,且 C(０)＝∪ C(ε)．
Nε(x,X )＝ {y ∈ Rm :yT (x －z)≤ε,∀z ∈ X } 当ε ＝０ 时 ,记 为
N (x,X)＝ {y ∈ Rm :yT (x －z)≤０,∀z ∈ X}
ε＞０
① 收稿日期:２０１４ ０７ ２１ 基 金 项 目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 (１１２０１５１１);重 庆 市 重 点 实 验 室 专 项 项 目 (CSTC,２０１１KLORSE０３)． 作者简介:李红梅(１９８８ ),女,重庆奉节人,硕士研究生,主要从事最优化理论研究．
２
西 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) http://xbbjb������swu������cn 第 ３７ 卷
１ 预备知识
设 Rn 是n 维欧氏空间,Rn＋ 是非负象限．设C ⊂ Rn ,intC 和clC 分别表示C 的内部和闭包．若C 为点 凸锥,C 的正极锥和严格正极锥分别记为C＋ 和 Cs＋ ．对x,y ∈ Rn 给出以下符号:
x ＜y⇔y －x ∈intRn x ≤y⇔y －x ∈ Rn＋ \{０}
多目标优化问题近似解的最优性条件①
李 红 梅１,２, 高 英１
１������ 重庆师范大学 数学科学学院,重庆 ４０１３３１;２������ 茶园新城中学,重庆 ４０１３３６
摘要:研究了多目标优化问题的一类近似有效解、近似弱有效解和近似真有效解,并利用切锥、可 行 方 向 锥、ε 法 锥等几何概念刻画了近似解的必要性及充分性条件． 关 键 词 : 多 目 标 规 划 ;近 似 解 ;锥 刻 画 中图分类号:O２２４ 文献标志码:A 文章编号:１６７３ ９８６８(２０１５)０９ ０１００ ０６
T(x,X )＝ {d ∈ Rm :∃tj↓０,dj →d,s������t������x ＋tjdj ∈ X } 集合 X 在x ∈ X 处的可行方向锥定义为:
D(x,X)＝ {d ∈ Rm :∃t ＞０s������t������x ＋td ∈ X} 设 X ⊂ Rm 是非空凸集,集合 X 在x ∈ X 处的ε 法锥定义为:
我们利用数值算法求得的解大多是近似解．在 实 际 情 况 中,有 效 解(弱 有 效 解)往 往 不 一 定 存 在,但 近 似解在很弱的条件下都可能存在．因此,研究近似解不仅有理论价值更有实际意义．１９７９ 年,文献[１]首次 引进了凸数值优化问题近似解的概念．文献[２]引 进 多 目 标 规 划 问 题 的ε 有 效 解 和ε 拟 近 似 有 效 解 的 概 念．文献[３]对多目标规划问题又提出了几种近似 解 的 概 念．随 后,近 似 解 有 了 一 系 列 的 发 展[４－７]．文 献[８] 利用coＧradiant集的概念定义了一种新的近似有效解和近似弱有效解的概念,并说明以往研究 的 诸 多 近 似 解(如 Kutateladze[１],White[３])都是它的特殊情况．文献[９]中 研 究 了εq 有 效 解、弱 有 效 解 和 真 有 效 解 的 最优性条件．文献[１０]中利用coＧradiant集在已有的 Benson真有效解的基础之上提出了一类新的近似真有 效解的概念,并研究了这类近似真有效解的一些线性与非线性标量化结果．文 献[１１]在 邻 近 次 似 凸 条 件 下 研 究 了 多 目 标 优 化 问 题 近 似 真 有 效 解 的 标 量 化 结 果 和 鞍 点 定 理 ．文 献 [１２]研 究 了 一 类 近 似 解 的 存 在 性 和 最 优 性 条 件 ．本 文 在 文 献 [８－９]的 基 础 上 ,利 用 各 种 锥 研 究 了 多 目 标 优 化 问 题 近 似 解 的 最 优 性 条 件 ．
Vol������３７ No������９
JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition)
Sep������ ２０１５
DOI:１０������１３７１８/j������cnki������xdzk������２０１５������０９������０１５
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义２ [８,１１] 设ε ≥０,C 为coＧradiant点集, ������ 如果(f(x０)－C(ε))∩f(S)⊂ {f(x)},则x０ 是(MOP)的关于 C 的ε 有效解． ������ 如果(f(x０)－intC(ε))∩f(S)＝Ø ,则x０ 是(MOP)的关于 C 的ε 弱有效解． ������ 如果clcone(f(S)＋C(ε)－f(x０))∩ (－C(ε))⊂ {０},则x０ 是(MOP)的关于C 的εＧBenson真 有效解． 记问题(MOP)关于C 的ε 有效解、ε 弱有效解和ε 真有效解分别为AE(f,C,ε),WAE(f,C,ε) 和 PAE(f,C,ε)． 定义３ 设ε ≥０,C 为coＧradiant点集, ������ 如果(f(x０)－C(ε))∩f(S ∩ B)⊂ {f(x)},则x０ 是(MOP)的关于 C 的局部ε 有效解． ������ 如果(f(x０)－intC(ε))∩f(S ∩B)＝Ø ,则x０ 是(MOP)的关于C 的局部ε 弱有效解,其中B 为x０ 的球形领域． 记问题(MOP)关于C 的局部ε 有效解、局部ε 弱有效解分别记为LAE(f,C,ε)和LWAE(f,C,ε)． 定义４[１３] 集合 X 在x ∈ X 处的切锥定义为:
x ≤qy⇔y －x ∈ Rn＋ 考 虑 如 下 多 目 标 优 化 问 题 (M OP):
min{f(x):x ∈S} 其中:S ⊂ Rn 是非空子集,f:S → Rm ．
定义１[８] 如果对任意的d ∈ C,任意的α ≥１,有αd ∈ C,则称 C 为coＧradiant集． 令 C(ε)＝εC,∀ε ＞０,且 C(０)＝∪ C(ε)．
Nε(x,X )＝ {y ∈ Rm :yT (x －z)≤ε,∀z ∈ X } 当ε ＝０ 时 ,记 为
N (x,X)＝ {y ∈ Rm :yT (x －z)≤０,∀z ∈ X}
ε＞０
① 收稿日期:２０１４ ０７ ２１ 基 金 项 目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 (１１２０１５１１);重 庆 市 重 点 实 验 室 专 项 项 目 (CSTC,２０１１KLORSE０３)． 作者简介:李红梅(１９８８ ),女,重庆奉节人,硕士研究生,主要从事最优化理论研究．
２
西 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) http://xbbjb������swu������cn 第 ３７ 卷
１ 预备知识
设 Rn 是n 维欧氏空间,Rn＋ 是非负象限．设C ⊂ Rn ,intC 和clC 分别表示C 的内部和闭包．若C 为点 凸锥,C 的正极锥和严格正极锥分别记为C＋ 和 Cs＋ ．对x,y ∈ Rn 给出以下符号:
x ＜y⇔y －x ∈intRn x ≤y⇔y －x ∈ Rn＋ \{０}
多目标优化问题近似解的最优性条件①
李 红 梅１,２, 高 英１
１������ 重庆师范大学 数学科学学院,重庆 ４０１３３１;２������ 茶园新城中学,重庆 ４０１３３６
摘要:研究了多目标优化问题的一类近似有效解、近似弱有效解和近似真有效解,并利用切锥、可 行 方 向 锥、ε 法 锥等几何概念刻画了近似解的必要性及充分性条件． 关 键 词 : 多 目 标 规 划 ;近 似 解 ;锥 刻 画 中图分类号:O２２４ 文献标志码:A 文章编号:１６７３ ９８６８(２０１５)０９ ０１００ ０６
T(x,X )＝ {d ∈ Rm :∃tj↓０,dj →d,s������t������x ＋tjdj ∈ X } 集合 X 在x ∈ X 处的可行方向锥定义为:
D(x,X)＝ {d ∈ Rm :∃t ＞０s������t������x ＋td ∈ X} 设 X ⊂ Rm 是非空凸集,集合 X 在x ∈ X 处的ε 法锥定义为:
我们利用数值算法求得的解大多是近似解．在 实 际 情 况 中,有 效 解(弱 有 效 解)往 往 不 一 定 存 在,但 近 似解在很弱的条件下都可能存在．因此,研究近似解不仅有理论价值更有实际意义．１９７９ 年,文献[１]首次 引进了凸数值优化问题近似解的概念．文献[２]引 进 多 目 标 规 划 问 题 的ε 有 效 解 和ε 拟 近 似 有 效 解 的 概 念．文献[３]对多目标规划问题又提出了几种近似 解 的 概 念．随 后,近 似 解 有 了 一 系 列 的 发 展[４－７]．文 献[８] 利用coＧradiant集的概念定义了一种新的近似有效解和近似弱有效解的概念,并说明以往研究 的 诸 多 近 似 解(如 Kutateladze[１],White[３])都是它的特殊情况．文献[９]中 研 究 了εq 有 效 解、弱 有 效 解 和 真 有 效 解 的 最优性条件．文献[１０]中利用coＧradiant集在已有的 Benson真有效解的基础之上提出了一类新的近似真有 效解的概念,并研究了这类近似真有效解的一些线性与非线性标量化结果．文 献[１１]在 邻 近 次 似 凸 条 件 下 研 究 了 多 目 标 优 化 问 题 近 似 真 有 效 解 的 标 量 化 结 果 和 鞍 点 定 理 ．文 献 [１２]研 究 了 一 类 近 似 解 的 存 在 性 和 最 优 性 条 件 ．本 文 在 文 献 [８－９]的 基 础 上 ,利 用 各 种 锥 研 究 了 多 目 标 优 化 问 题 近 似 解 的 最 优 性 条 件 ．