证明勾股定理的几种常用方法

2 2 2 a 、b ，求证：a + b = c .

证明勾股定理的几种常用方法

勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形

三边之间的数量关系，即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方•探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾 股定理的理解、

丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣.

证明勾股定理的方法有很多种， 最常见的是通过构造一些

含有直角三角形的特殊图形, 利用面积相等来证明，现举例说明如

下：

已知Rt △ ABC 的斜边长为c,两直角边的边长分别为

证法1:如图1所示，以Rt △ ABC 的三条边作边 长分别向外

作三个正方形，则正方形 CDEF 与正方形 GHMN 勺面积相等，即 S 正方形CDEF = S 正方形GHMN

、 2 2 1

因为S 正方形GHM = (a + b) , S

正方形CDE = c + 4 x qab. 1 所以(a + b) 2= c 2+ 4 x qab ，故 a 2+ b 2= c 2.

证法2：用四个Rt △ ABC 拼成图2所示的图形, 则四个直角三角形的直角顶点构成了一 个小正方形的四个顶点.观察图形可得出等 量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角 2 2 1 三角形的面积之和，即 c - (b — a) = 4x ?ab , …a + b c . 图2

b a 说明：用四个 Rt △ ABC 拼成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差 等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出 a 2+ b 2=

c 2. 证法3:如图4所示，两个全等直角三角形的直角边 三角形的斜边相互垂直.由图形可以看出，直角梯形的面积 等于三个直角三角形的面积之和. 1 1 1 2

贝U S 梯形=^(a + b)(a + b) = 2 x ?ab + 尹,

• • a + b c . a 、b 在同一条直线上，则两直角 图 4

图1