17-18浙江工商大学线性代数

浙江工商大学2017/ 2018学年第一学期考试试卷A

课程名称：《线性代数（文，必修）》考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级名称：__________学号：__________姓名：__________

一、 填空题(每小题2分,共20分)

1. 已知行列式

42

22

21111-=-+-+b a b a b a b a ，则

=2

21

1

b a b a ______。 2. 行列式0

1

1

1

101111011110D ------=

的第一行元素的代数余子式之和=+++14131211A A A A ______。

3. 已知3阶矩阵A 的行列式1-=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则 =-1

*)

(A ____________。

4. 已知矩阵)1,2,1(-=A ，)1,1,2(-=B 且B A C T =，则=7

C ____________。

5. 设矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--=111131111A 的三个特征值分别为321,,λλλ，则=λ+λ+λ321______。

6. 如果线性方程组⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________。

7. 若三阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则 =+-1

A

A _________。

8. 设B A ,分别为n n m m ⨯⨯,阶矩阵，*

*

,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若2=A ，

3=B ，则分块矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=B O O A C 的伴随矩阵=*

C ____________。

9. 设三阶矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=40321

2221A ，三维向量T a ),1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，

则=a 。

10. 已知n 阶方阵A 满足0432=+-E A A ，则_________)2(1=+-E A 。

二、单项选择题：（每题3分，共15分）

1. 三阶矩阵A 按列分块为),,(321A A A A =,且1=A ,则11232,3,2A A A A A -- 为 （ ）。

（A ） -2 （B ） 2 （C ） -6 （D ） 6

2. 设齐次线性方程组0=AX 的基础解系为T )0,1,1,1(1-=α，T )1,0,1,1(2=α， 则必有 （ ）。

（A ）A 是53⨯矩阵 （B ）2)(=A r

（C ）A 是42⨯矩阵 （D ）A 的列向量组线性无关

3. 下列命题正确的是（ ）。

（A ）设B A ,均为n 阶方阵，若0=AB ，则0=A 或0=B

（B ）设A 为n 阶方阵，且0=A ，则A 中必有一行可由其余行线性表示 （C ）若齐次线性方程组0=AX 只有零解，则b AX =有唯一解 （D ）方阵A 对应于同一个特征值的特征向量构成的向量组必线性无关

4. 设B A ,均为5阶非零方阵，而且0=AB ，则必有（ ）。

)(A 若A 的秩为1，则B 的秩为4 )(B 若A 的秩为2，则B 的秩为3

)(C 若A 的秩为3，则B 的秩为2 )(D 若A 的秩为4，则B 的秩为1

5. 与⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=300030000A 相似的矩阵为( )。

(A )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (B )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (C )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030010 (D )⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛300130110

三、 计算行列式3

3

1

5

112043512131D ------=

。 (6分)

四、 已知⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A ,,213131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=121112C 。

（1）计算：C B T 与T BC ；（2）计算.3C B A T

- (8分)

五、 给定向量组

T 1)6,3,2,1(=α,T 2)4,2,1,1(-=α,T 3)2,1,4,1(-=α,T

)8,2,1,1(4---=α，T 6)(-1,4,-1,-5=α。

求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示。 (12分)

六. 已知方程组 ⎪⎪⎩⎪

⎪

⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x ，问p,q 取何值时方程组有唯一解？无解？

有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求全部解。 (12分)

七、已知矩阵方程⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112312943952421X , 求.X (10分)

八、 设

⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A

讨论A 能否与对角矩阵相似。 (12分)

九、证明题

设向量组321,,ααα线性无关，且3211βββα--=，3212βββα-+=，3213βββα+-=。 试证明向量组321,,βββ线性无关。(5分)