八年级上册——角平分线的性质和判定
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角平分线的性质
[问题]如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?
[操作]
作已知角的平分线的方法:
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心,大于1
2
MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
[探索]
按以下步骤折纸
将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
[证明]
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E
求证:PD=PE
证明:
[几何语言描述] Q P 在AOB ∠的平分线上
PD OA ⊥于D ,PE OB ⊥于E
∴PD PE =
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例1】如图,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,这个集贸市场应建于何处?
【例2】如图,△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P .求证:点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.
【例3】如图,D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点,DF AC ⊥于F ,DE BC ⊥于E ,且交BC 的延长线于E 。 求证:CE CF =。
【例4】已知:AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、
F,BD=CD,求证:∠B=∠C.
【例5】如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.求证:AB=AC+CD.
【例6】如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,F是OC上除点P、O外一点,连接DF、EF,则DF与EF的关系如何?证明你的结论
【课后作业】
1、如图所示,∠B=∠C=90°,根据角平分线的性质填空:
(1)若∠1=∠2,则________=________;
(2)若∠3=∠4,则________=________.
2、如图所示,下列推理中正确的个数是()
①因为OC平分∠AOB,点P、D、E分别在OC、OA、OB上,所以PD=PE;
②因为P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,所以PD=PE;
③因为P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,且OC平分∠AOB,所以PD=PE.
A.0个B.1个C.2个D.3个3、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=
1.5cm,则BC=()
A.3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm 4、如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D.下列结论中错误的是()A.PC=PD B.OC=OD
C.∠CPO=∠DPO D.OC=PC
(第2题)(第3题)(第4题)
5、如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5 cm,BD=3 cm,则点D到AB的距离为()
A.5 cm B.3 cm C.2 cm D.不能确定
6、如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线交于点O,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是()A.OD>OE B.OD=OE C.OD<OE D.不能确定
7、如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD平分线的交点,OE⊥AC交AC于E,且OE=2,则AB与CD之间的距离等于________
8、如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,则①AC平分∠BAD;②CA平分∠BCD;③AC平分BD;④BD平分∠ADC中,正确的结论是()
A.①②B.①②③C.①②④D.只有①
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
9、如图所示,△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,点F在
AC上,BD=DF.求证:(1)DC=DE;(2)CF=EB.
10、如图,四边形ABCD中,AB=AD,CD=CD,点P是对角线AC上一点,PE⊥BC
于E,PF⊥CD于F,求证:PE=PF
11、如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,且AB=AD,BC=DC,
CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E、F.
求证:CE=CF.
12、已知,(如图)在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BF
上,PM⊥AD于M,
PN⊥CD于N,求证:PM=PN
13、如图,BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点,三角形ABC的面积等于90,AB=18,
BC=12,求DE的长。
14、如图1,在△ABC中,∠A,∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB与R,
AB=7,BC=8,AC=9(1.)求BP、CQ、AR的长。(2).如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=1
2
∠A(3).如图3
若BO的延长线叫AC于E,CO的延长线叫AB于F,若∠A=60°,求证:OE=OF.
(图1)
(图2)
(图3)
第十讲角平分线的判定
[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等,这里的条件是_________;结论是__________
如果将条件和结论互换,则可以得到命题________________________________________,那么,这个命题是真命题吗?可以证明吗?
【例1】证明如下:
已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
【例2】如图,已知BD = CD,BF⊥AC,CE⊥AB.求证:D在∠BAC的平分线上.