向量法求空间角、距离和二面角

向量法求空间角、距离和二面角

1.1.向量的数量积和坐标运算

a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：

—¥■—*

若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U

① a b X1X2 y〃2 Z1Z2;

②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22;

③ a b X1X2 y1 y2 z1z2

X1X2 y“2 Z1Z2

④C0S a

，

b

丨 2 2 2 厂 2 2 2

X1 y1 Z, . X2 y2 Z2

1.2.异面直线m,n所成的角

分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所

成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所

示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东

D图1 b B

|a| |b|

卷第18题第（2）问）

1.3.异面直线m、n的距离

分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的

向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在

| AB n |

n上的射影长，即d

|n|

证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则

CD CA AB BD

CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n|

d |CD| 皿

1

|n|

设直线m, n所成的角为，显然cos

la b| |a| |b|

14直线L与平面所成的角

在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所

示）,

再求cos ，则

|AB| | n|

2为所求的角.

1.5 . 二面角

方法一：构造二面

角

量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示），

则

的两个半平面、的法向

① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示,

那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos

ri t n2

g | “2 |

.(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.

②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示,

那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即

n t n2

cos .（例如2004年高考数学广东卷第

|n 1 | |n2 | 图3

乙

18题第（1）问）.

方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、

求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则

l

的大小等于向量n 、n 2的夹角，即cos

1.6.平面外一点p 到平面 的距离

先求出平面 的法向量n ,在平面内任取一定点A ，则点 p 到

平面 的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即

d

1 AP n

(例如2004年广州一模第18题第(U)问). |n|

2.1.基向量法

由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解

题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量， 把有关线段根据向量的加法、

数乘运算法则与基向量联系起来.再通过向量的代数运算，达到计算或证明

的目的.一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量

.

［例1］如图6，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长为2，底面边长为1， M 是BC 的中点.

(1 )在直线CC 1上求一点N ，使MN AB 1 ; (2) 当MN AB 1时，求点A 1到平面AMN 的距离. (3) 求出AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角. 分析1

(1 )的问题显然是求使异面直线 MN 与

门！

1

N

AB1所成的角为直角的点N .依据向量数量积的概念，必须由条件

MN AB1MN AB10，求出CN的长度，而MN与AB1都不是已知向量，

且和CN没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示MN与AB.

(1)解法一：取共点于B的三个不共面的已知向量

BABC 、BR 为基向量,

I I

AB BC AB CN BB 1 BC BB , CN 0 2

2

分析2 本小题还可以取共点于 A 的三个不共面的已知向量 AB,AC,AA 为

基向量，从而得

(1)解法

AB

AB BB 1

AB AA .

MN AN

AM

(AC CN) *1

d

-(AB AC)- 2 2

(AC AB) CN

MN

AB 1 (AB AAJ

1 — H(AC 2

AB) CN]

丄(AB

AA1) (AC AB) (AB AA 1)

CN

2

2 > ■ > > > ■ > ■ (AB AC AB

AA 1 AC AA 1 AB) AB CN AA 1 CN

2

1 2

(1 1 cos60 1 2 1 cos90 2 1 cos90 )

2 1 a cos90 2 a cos0

1 1

0 0 2a

4 2

AB 1 AB BB 1, MN

MC

1

CN

BC CN

(AB BE) (1 BC

CN) 0

由 正三棱柱ABC A B 1C 1及MN AB !

1 1 1 cos120 1 |CN | cos90 -

2 1 cos90 2 2 |CN |

cos0 1

0 0 2|CN| 0 4 |CN | 1 8

MN AB ! 0,

MN AB 1

0,

1

1 0 0 2a 0, a 1

4

8

|CN|

比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便

因为用方法一选择的一组