第二章 确定信号分析

E ( ) e
j
d
E ( )


R ( ) e
j
d
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2. 功率信号的自相关函数与其功率谱密度互 为傅立叶变换（证明：略 ）
R( ) P( )
1 R ( ) 2
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E (2f ) | F ( 2f ) |
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帕色瓦尔(V. A. Parseval)定理源自1 f (t ) dt 2
2



F ( ) d
2
单边能量谱密度
2E ( ) 0 G( ) 0 0
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• 傅立叶变换
– 正变换
F ( ) f (t )e jt dt F [ f (t )]

– 逆变换
1 jt ( ) f (t ) F e d F 2
1
[ F ( )]
( A)
在该电阻上消耗的能量为 E f 如果


f 2 (t )dt
Ef
能量有限
则 称 f (t )为能量信号
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2 能量信号和功率信号 （2）功率信号
1 lim T1 T 1
功率有限能 量无限
f
2.8
1 定义
确定信号的相关函数
能量信号的互相关函数 功率信号的互相关函数 周期信号的互相关函数
R12 ( )



f1* (t ) f 2 (t )dt
1 R12 ( ) lim T T

2
T
2
T 2
*
f1* (t ) f 2 (t )dt
1 R12 ( ) T
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功率谱密度
功率谱密度函数 平均总功率
P ( ) lim
FT ( ) T
2
T
1 P 2
P ( )



P ( )d
0
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基带信号：信号的能量或功率集中在零频率附近
E( f )或P( f ) -3dB
f -B99 0 B3dB B等效 B99
频带信号：信号的能量或功率集中在某一载波频率附近
E( f )或P( f ) -3dB
c
- c 0 B3dB B等效 B99
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• 将频带信号x(t)通过带通系统h(t)的分析 简化：化为基带信号xL(t)通过低通系统hL(t)
1 f (t )e dt ]d 2
jt

1 f (t )[ 2



F ( ) e j t d ]dt


F ( ) F * ( )d


2 | F ( ) | d | F (2 f ) | df
令 E ( ) | F ( ) |
2
2
称为 f (t )的能量谱密度 单位带宽中的信号能 量与角频率ω的关系

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3. 信号带宽
信号带宽：信号的能量或功率的主要部分集中的频率范围 1）根据占总能量或总功率的比例确定信号带宽(90%…99%)
2 E (2 f ) df
0 B
Ef
99%
或
2 P (2 f ) df
0
B
2）将E()或P()下降到3dB(半功率点)的频率定 为信号带宽(设为B3dB)
c
c T
f (t )dt
0
T
f (t )dt
④ 同周期信号的和、差也是周期信号。
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2 能量信号和功率信号 （1）能量信号
若 f (t ) 表示一欧姆电阻上的电压 （V） 则电流为 i (t ) f (t )
E (2 B3dB ) E (0) P (0) P (2 B ) 或 3 dB 2 2
Pf
99%
3）等效矩形带宽B等效
B等效
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E (2 f ) df 2 E (0)
或
B等效



P (2 f ) df 2 P (0)
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• 思路
– 应用解析信号和复包络得到带通系统的等效 低通特性，采用基带信号分析方法
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频带信号通过带通系统分析
• 将频带信号x(t)通过带通系统h(t)的分析 直接分析：比较繁琐 简化：化为基带信号xL(t)通过低通系统hL(t)
25
2.13 频带信号与带通系统
1 频带信号的定义及表示方法
令f(t)为频带信号，且
f (t ) F ( )
信号能量位于某一 频率附近，且带宽 远小于此频率
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2 带通系统
系统通频带位于某 一频率附近，且带 宽远小于此频率
第二章 确定信号分析
北京邮电大学信息工程学院 牛凯 2012年3月
2.1
确定信号
引言
– 用确定的时间函数表示的信号
f (t) = Sin(2t)
例如：
1 2 3 4 5
t
随机信号
– 不能用一个确定性的时间函数来描述，但具 有一定的统计规律性
高斯分布
例如：
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1、三角函数的傅立叶级数
f (t)为周期信号，周期为T，且满足狄里赫利条件
f (t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2. 功率谱密度
功率信号 f (t ) 的平均功率
1 Pf lim T T
时间平均

T
2 2
T
f 2 (t )dt f 2 (t )
① 取 f (t )的短截
f (t ) f T (t )
| t |
T 2
T
lim f T (t ) f (t )
0
其它t
f T (t ) FT ( )
1 lim T 2



| FT ( ) |2 d
| FT ( ) |2 d T 单位带宽中f (t)的平均功
率与角频率ω的关系 功率谱密度
令
| FT ( ) |2 P ( ) lim T T
0 2 P( ) 单边谱密度 B( ) 0 0 1 Pf P ( ) d P ( 2f ) df 平均功率 2 1 B ( ) d B ( 2f ) df 0 0 2
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2.7 能量谱密度与功率谱密度
1 能量谱密度
f (t ) 为实能量信号
f (t ) F ( )
Ef


f (t )dt
2


1 2 1 2


F ( )[
2


② f T (t ) 为能量信号
帕色瓦 尔定理
ET
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1 f T (t )dt 2
2


| FT ( ) |2 d
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③ f (t) 的平均功率为：
1 ET lim Pf lim T T T T 2
一对 傅立叶 变换




P ( ) e
j
d
P ( )

R ( ) e
j
d
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4 低通滤波器和带通滤波器
低通滤波器: 滤波器的通频带位于零频附近 带通滤波器: 滤波器的通频带位于某一频率 附近，且带宽远小于此频率

2 0 T
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指数形式的傅立叶级数的系数
1 Fn T

T /2
T / 2
f (t )e
jn 0 t
dt
一般情况，Fn、 F-n是复数，则Fn和 F-n 是一对共轭复数 即| Fn |= | F-n |=Cn /2
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能量谱——帕色瓦尔定理
能量有限信号
2
两块阴影的面积 相等
2 1 F () d 2
f (t )
2


f (t) dt
F ( )
2
t
0
0

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T
T 2
f1 (t ) f 2 (t )dt
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若f1(t) = f2(t) = f (t) 能量信号的自相关函数
R( )


f (t ) f (t )dt
*
功率信号的自相关函数
1 R ( ) lim T T

T
2
T 2
f (t ) f (t )dt
*
归一化相关函数
r12 ( ) R12 ( ) [ R1 (0) R2 (0)]
1 2
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2 相关函数的性质
* ① R12 ( ) R 21 ( )
t
2.2 确定信号的分类
周期信号 非周期信号 模拟信号 数字信号
能量信号 功率信号
基带信号 频带信号
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1 周期信号
t , f ( t ) f ( t T )
T 是f (t)的周期
性质: ① nT 也是f (t)的周期，即 f (t ) f (t nT ) ② s(t)=f (at)的周期为T /a ③
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理想低通滤波器
• 理想低通滤波器的传递函数
H ( ) rect(

2W
)e j
• 理想低通滤波器的冲激响应
h(t ) w

Sa[W (t )]
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② | r12 ( ) | 1
* ③ R ( ) R ( )
④ | R( ) | R(0) ⑤ 能量信号的能量 E R(0)，功率信号的功率 P R(0)
R ( )


f (t ) f
*
( t ) dt
R (0 )


f (t )
2
dt
⑥ 周期信号的自相关函数是周期函数，且周期与信 号周期相等（证明：略 ）

T1
2 2
T1
f 2 (t )dt 0 且

则称 f (t ) 为功率信号
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2.3 周期信号的傅立叶级数
• 周期信号可展开成正交函数线性组合的无 穷级数： . 三角函数式的 傅立叶级数 {cos(n0t), sin(n0t)} . 复指数函数式的傅立叶级数 { e j n 0t }
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3 相关函数与能量(功率)谱密度 1. 能量信号的自相关函数与其能量谱密度 互为傅立叶变换（证明：略 ）
R( ) E ( ) | F ( ) |
一对 傅立叶 变换
2
1 R ( ) 2