高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列教师用书理
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第三节 等比数列
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
一个常数。
同都等于比起，每一项与它的前一项的项2第文字语言：从①
。
)为非零常数q ，*
N ∈n (q ＝an ＋1an
符号语言：②
与
a 是G 的等比中项。即：
b 与a 叫做G 成等比数列，那么b ，G ，a 等比中项：如果(2)。
ab ＝2G ⇒成等比数列b ，G ，a ⇔的等比中项b
2．等比数列的有关公式
。
1
－n q 1a ＝n a 通项公式：(1)
(2)前n 项和公式：S n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
na1，q ＝1，－1－q ＝a1－anq
1－q ，q ≠1。
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m
(m ，n ∈N *
)。
。
q a ·p a ＝n a ·m a ，则q ＋p ＝n ＋m ，若q ，p ，n ，m 对任意的正整数(2)
。
2p a ＝n a ·m a ，则p 2＝n ＋m 特别地，若
m
3S (m S ＝2
)m S －m 2S (仍成等比数列，即m 2S －m 3S ，m S －m 2S ，m S ，则n S 项和为n 若等比数列前(3)。
1)－≠q ，公比*
N ∈m ()m 2S －
数列。
等比也是)是常数p ，≠0p }(n pa {是等比数列，则数列}n a {数列(4)
(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…
。
k
q 为等比数列，公比为
微点提醒
1．等比数列的概念的理解
(1)等比数列中各项及公比都不能为零。
(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。 2．等比数列{a n }的单调性
(1)满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a1>0，
q>1或⎩⎪⎨⎪⎧ a1<0，0 (2)满足⎩⎪⎨ ⎪⎧ a1>0， 0 a1<0，q>1 时，{a n }是递减数列。 (3)当⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a1≠0， q ＝1时，{a n }为常数列。 (4)当q <0时，{a n }为摆动数列。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修5P 68B 组T 1(1)改编)等比数列{a n }各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2 ＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35 【解析】∵a 4a 7＝a 5a 6，∴a 5a 6＝9，又log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝ log 3(a 5a 6)5 ＝log 395 ＝10。故选B 。 【答案】 B 2．(必修5P 62B 组T 2改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S6S3＝12，则S9 S3＝________。 【解析】S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，则(S 6－S 3)2 ＝S 3·(S 9－S 6)，由S6S3＝12知S 6＝12 S 3， 则14S 23＝S 3·(S 9－S 6)，所以S 9＝34S 3，所以S9S3＝3 4 。