刚体定轴转动答案

第2章 刚体定轴转动 一、选择题

1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)

二、填空题

(1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). ｓ

(3). g / l g / (2l ) (4). N ·m (5). rad/s (6). 0.25 kg ·m 2

(7). Ma 2

1

(8). mgl μ21参考解：M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l μμ2

1

d /0=⎰

(9).

()2

1

2

mR

J mr J ++ω

(10). l g /sin 3θω=

三、计算题

1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22

1

mR J =

，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为

总摩擦力矩 mgR M M R

μ3

2

d 0

=

=⎰ 故平板角加速度 ? =M /J 设停止前转数为n ，则转角 ? = 2?n

由 J /Mn π==422

θβω 可得 g R M

J n μωωπ16/342

020=π=

2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与

定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为221

MR ，滑轮轴光滑．试

求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J? ② 运动学关系： a ＝R? ③ 将①、②、③式联立得

a ＝mg / (m ＋

2

1

M ) ∵ v 0＝0，

∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋

2

1

M ) 3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR －M f ＝Ja / R ① mg －T ＝ma ②

h ＝221

at ③

则将m 1、t 1代入上述方程组，得

a 1＝2h /21t ＝ m / s 2

T 1＝m 1 (g －a 1)＝ N

J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得

a 2＝2h /22t ＝×10-3 m / s ? T 2＝m 2(g －a 2)＝ N

J = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤

由④、⑤两式，得

J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝×103 kg ·m 2

4. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速

度成正比，即M ＝－k? (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为02

1

ω时所需的时间．

解：根据转动定律： ?????????????? ???? J d ? / d t = -k??????????????????????????????????????????????????

∴

t J k

d d -

=ω

ω

两边积分：

⎰

⎰-=t

t J

k 0

2

/d d 1

00

ωω

ωω

得 ln2 = kt / J

∴ t ＝(J ln2) / k

5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为

m 的砝码，砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴2

1

l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一

砝码离转轴为21

l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过

程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)

解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W 等于系统动能之增量：

W ＝?E k ＝2122102

22204)21(214)21(21n ml J n ml J π+-π+2

这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量． (2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：

2?(J 0＋2121ml ) n 1 = 2? (J 0＋2

22

1ml ) n 2

∴ ()

()122

2212102n n n l n l m J --=

(3) 将J 0代入W 式，得 ()2

2

21212l l n mn W -π= 6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为22

1

MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)

解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒．

mv 0R ＝(2

1

MR 2＋mR 2)?

(2) 设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小

为 ⎰π⋅=R

f r r

g r M 0

d 2σμ＝(2 / 3)??σgR 3＝(2 / 3)?MgR

设经过?t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有