311 空间向量及其加减运算

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第三章 空间向量与立体几何
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1．空间向量
定义 在空间，把具有 大小 和 方向的量叫做空间向量
长度 向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表 示法
空间向量用 有向线段 表示
表示 法 字母表
示法
用一个字母表示，如图，此向量的 起点是 A，终点是 B，可记作 a，也
可记作A→B，其模记为 |a |或|A→B|.
(2) 判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素； 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
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1.下列说法中正确的是 ( ) A．若|a|＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律
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3．1 空间向量及其运算
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3．1.1 空间向量及其加减运算
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1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向 量的概念；
2.掌握空间向量的加法、减法运算.
＝A→B＋(B→B′＋D′ →D)＋(A′→D′－B→C)＝A→B. (2) A→C′ － A→C＋ A→D－ A→A′ ＝ CC→′ ＋ A′→D ＝ D→D′ ＋ A′→D＝A′→D′.
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给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
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1.如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， A→B＝
a， A→D＝b，A→A1＝c，则D→1B等于( )
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C．a－b－c
D．－a＋b＋c
解析： D→1B＝D→1D＋D→A＋A→B＝－c－b＋a.
答案： C
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[解题过程]
题号 正误
原因分析
当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向 ① × 量必相等，但两个向量相等不一定起点相同，终
点相同
② × 向量相等的定义，模相等，而且方向相同
③
√
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1方
向相同，模也相等，必有 A→C＝A→1C1
4. 如图所示，已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′， 化简下列表达式．
(1)A→B＋B→B′－D′→A′＋D→′D－B→C； (2)A→C′－A→C＋A→D－A→A′.
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解析： (1) A→B＋B→B′ －D′→A′＋D′→D－B→C＝A→B＋ B→B′＋A′→D′＋D′ →D－B→C
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有 A→C＝A→1C1；
④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( )
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A．1 C．3
B．2 D．4
依据空间向量基本概念进行判断．
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3．如图所示， a，b 是两个空间向量，且面 ABC∥面 A′B′C′ ， AA′ ＝ BB′ ＝ CC′ ， 则 A→C 与 A′→C′ 是 ________向量， A→B与B′→A′是________向量．
答案： 相等 相反
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D．在四边形 ABCD 中，一定有 A→B＋A→D＝A→C
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2.几类特殊向量 (1)零向量： 长度为0 的向量叫做零向量，记为0. (2)单位向量： 模为1 的向量称为单位向量． (3)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量称为相等向 量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量． (4)相反向量：与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量，称为 a的相反向量，记为－a.
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3．空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法 运算(如图)：
空间向
量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝ a＋b ；
C→A＝O→A－O→C＝ a－b
.
加法运 (1)交换律：a＋b＝ b＋a ；
算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝ (a＋c)＋b .
④ √ 由向量平行(共线)的性质可知
⑤
×
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一 定相同，故不一定相等
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答案： C [题后感悟] (1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位 向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则 和运算律是解决问题的关键；
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1.空间向量的基本概念和性质．(难点) 2.空间向量的加减法运算．(重点)
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1.2009 年12月至2010 年1月间，我国北方遭受了历史罕见的 寒潮袭击，大风降温天气频发．已知某天某人骑车以a km/h的速 度向东行驶，感到风是从正北方向吹来；而当速度为 2a km/h时， 感觉风是从东北方向吹来．
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2．在平面向量中，下列说法正确的是( ) A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量 相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 解析： 根据两个向量相等的定义可知，选项D正确． 答案： D
你能确定实际的风速和风向吗？
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2．在必修 4中，我们已经学习了平面向量，你还知道下列 几个问题是怎么定义的吗？
(1)什么叫向量？ (2)什么是向量的长度(或模)? (3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？ (4)向量的表示方法有哪些？ 那么，在空间中，上述问题又是如何定义的呢？